门 | GATE CS 2020 | 问题7

这是GATE CS 2020年的第7个问题，涉及到一个关于门的问题。让我们一起看看这个问题和解决方法。

问题描述

一个门可以打开或关闭。每次打开或关闭门需要支付1单位的代价。门的初始状态为关闭，要求依据以下规则将门状态从关闭变为打开：

1. 第一次打开门的代价为1。
2. 之后每次打开的代价为当前打开门次数的平方。

给定代价n，求最小的打开次数m，使得打开门的代价总和不超过n。

解决方法

首先，我们需要明确一些事情：对于给定的代价n，打开门的次数越多，总代价也就越大。因此，我们的目标是找到最小的打开次数，使得总代价不超过给定代价n。

由于每次打开门的代价是以打开门的次数的平方递增的，我们可以使用二分法来解决这个问题。

具体来说，我们可以定义一个函数 f(x)，表示打开门 x 次所需要的总代价。然后，我们可以用二分法来找到最小的 x，使得 f(x) 不超过给定代价 n。

我们可以通过以下方法来计算函数 f(x)：

1. 如果 x = 1，f(x) = 1。
2. 如果 x > 1，则 f(x) = f(x-1) + x^2。

现在，我们已经定义了一个函数 f(x)，接下来我们需要使用二分法来找到最小的 x。

我们可以选择一个左边界 L 和右边界 R，然后不断缩小搜索范围，直到找到最小的 x。

我们可以使用以下代码来实现这个算法：

def f(x):
    if x == 1:
        return 1
    else:
        return f(x-1) + x**2

def find_min_x(n):
    L = 1
    R = n
    while L < R:
        mid = (L+R)//2
        if f(mid) > n:
            R = mid
        else:
            L = mid + 1
    return L-1

上面的代码中，我们首先定义了一个函数 f(x)，用来计算打开门 x 次所需要的总代价。然后，我们定义了另一个函数 find_min_x(n)，用来找到最小的打开次数 x。

我们用 L 和 R 分别表示搜索范围的左右边界，然后使用二分法来缩小搜索范围。在每次迭代中，我们计算出中间值 mid = (L+R)//2，然后比较 f(mid) 和给定代价 n 的大小关系。如果 f(mid) 大于 n，说明开门次数太多，我们需要把搜索范围缩小到 mid 的左边；否则，搜索范围需要缩小到 mid 的右边。

最后，当 L >= R 时，我们就找到了最小的打开次数，返回 L-1 即可。

总结

本题是一道非常有趣的二分法题目，需要一些数学知识来解决。我们可以通过定义一个函数来计算代价，然后使用二分法来找到最优解。如果您还没有学会二分法，可以考虑先学习相关课程。