GATE CS 2020 问题5

问题5是2020年门(GATE)计算机科学考试的一道编程题，涉及动态规划和最长公共子序列问题。该问题描述如下：

给定两个字符串S和T，长度分别为N和M。找到它们之间的最长公共非空子序列的长度。如果没有这样的子序列，则返回-1。

示例：

输入：S = "abcdgh", T = "aedfhr"

输出：3

解释：最长公共子序列为 "adh"，长度为3。

解题思路

这是一道比较典型的最长公共子序列问题，通常可以使用动态规划求解。动态规划的关键在于定义状态和状态转移方程。

• 定义状态：我们可以定义dp[i][j]表示S的前i个字符和T的前j个字符的最长公共非空子序列的长度。

• 状态转移方程：根据两个字符串的当前字符是否相等分为两种情况：

  1. 如果S[i] == T[j]，那么dp[i][j]就是dp[i-1][j-1]加上当前字符的长度。因为此时可以将最长公共子序列扩展一个字符。
  2. 如果S[i] != T[j]，那么dp[i][j]就是dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的最大值。也就是说最长公共子序列一定不包括S[i]或T[j]。

• 初始状态：当i=0或j=0时，dp[i][j]都为0。

最后返回dp[N][M]即可。

参考实现如下：

def longest_common_subsequence(S, T):
    N, M = len(S), len(T)
    dp = [[0] * (M+1) for _ in range(N+1)]
    for i in range(1, N+1):
        for j in range(1, M+1):
            if S[i-1] == T[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    return dp[N][M] if dp[N][M] > 0 else -1

总结

这道题是最长公共子序列问题的一种经典变形，通过使用动态规划可以得到时间复杂度为O(NM)的解法，比较高效。此外也可以使用递归和记忆化搜索进行求解，但是时间复杂度较高，不如动态规划。建议程序员掌握动态规划及其应用，更好地应对各种复杂的算法问题。