门| GATE CS 2020 |问题1

这是 GATE CS 2020 中的第一道问题。这个问题涉及到了一些基本的算法和数据结构。

问题描述

给定一个数组 arr，和一个整数 k，找到数组中长度为 k 的连续子数组中最大和的两个数值。

例如：当给定数组 arr = [1, -2, 3, 5, -6, 2]，和 k = 4 时，我们可以得出长度为 4 的子数组 arr[1:5] = [-2, 3, 5, -6]，它的最大和是 8，对应的值为 (3, 5)。

函数签名

def max_sum_subarray(arr: List[int], k: int) -> Tuple[int, int]:
    pass

输入

输入由两个参数组成，依次为：

• arr：一个长度为 $n (1 \leq n \leq 10^6)$ 的整数数组。
• k：一个整数，表示子数组的长度，$1 \leq k \leq n$。

输出

输出一个元组，表示长度为 k 的子数组中最大和对应的两个数值。如果最大和对应的两个数值有多个，输出任意一个。

说明

你需要实现一个时间复杂度为 $\mathcal{O}(n)$ 的算法来解决这个问题。

示例

assert max_sum_subarray([1, -2, 3, 5, -6, 2], 4) == (3, 5)
assert max_sum_subarray([1, -2, 3, 5, -6, 2], 3) == (3, 5)
assert max_sum_subarray([1, -2, 3, 5, -6, 2], 2) == (3, 5)
assert max_sum_subarray([1, -2, 3, 5, -6, 2], 1) == (5, 5)

解题思路

本题可以使用滑动窗口算法来解决，时间复杂度为 $\mathcal{O}(n)$。

我们通过以下方式来计算长度为 k 的子数组的最大和：

1. 首先，我们计算数组中前 k 个数的和，作为当前滑动窗口的最大和。
2. 接着，我们从数组的下标为 1 的位置开始往后遍历，每次选择删掉窗口的第一个数，添加一个新的数，然后重新计算窗口内所有数的和。
3. 如果当前的窗口和比之前的最大值要大，则更新最大值，同时记录当前的两个最大数值。

from typing import List, Tuple

def max_sum_subarray(arr: List[int], k: int) -> Tuple[int, int]:
    """
    计算长度为 k 的子数组中最大和对应的两个数值。

    Args:
    - arr: 长度为 n (1 <= n <= 10^6) 的整数数组
    - k: 整数，表示子数组的长度，1 <= k <= n

    Returns:
    - 一个元组，表示长度为 k 的子数组中最大和对应的两个数值。如果最大和对应的两个数值有多个，输出任意一个。
    """
    max_sum = float("-inf")
    max_values = None
    window_sum = sum(arr[:k])

    i, j = 0, k
    while j < len(arr):
        if window_sum > max_sum:
            max_sum = window_sum
            max_values = (arr[i], arr[j-1])

        window_sum = window_sum + arr[j] - arr[i]
        i += 1
        j += 1
    
    if window_sum > max_sum:
        max_sum = window_sum
        max_values = (arr[i], arr[j-1])
    
    return max_values, max_sum

总结

本题考察了滑动窗口算法的思想和应用场景。滑动窗口是一种可用于在线性数组或列表上迭代固定大小连续子序列的算法。它使用两个指针作为窗口的左右边界，并根据遍历过程中的需要，更新左右指针的位置。在更新指针后，我们可以使用更新后的子数组来解决各种问题，例如最大/小值，求和，等等。