门| GATE CS 2020 |问题 8

此问题来自于GATE 2020计算机科学考试，是一道有趣的编程问题。对于程序员来说，这是一道很好的练习题，可以提高编程能力。

问题描述

二维平面上有n个点。假设它们分别被编了$1,2,3,...,n$。如图所示，绿色的边代表围栏，黑色的边代表门。

现在你需要写一个程序来判断门是否连通，并返回连通的门的编号。门之间连通的意思是：门$x$和门$y$之间存在一条路径，这个路径只经过其他的门。

输入

有两行输入，第一行是一个正整数$n$ $(3≤n≤1000)$，表示有$n$个点。接下来的一行包含$2n$个整数，第$i$个和第$i+1$个整数表示第$i/2$个点的坐标$(1\leq|x_i|,|y_i|\leq 10^6)$ $(i时为偶数)$。绝对值坐标的差不会超过$10^3$。

接下来一行是一个数组$g[i][i+1]$表示两个点之间是否有一面墙。

输出

假设连通的门有$m$个，它们的编号为$a_1,a_2,a_3,...,a_m$。将它们以升序方式排列并在一行中输出。

样例

输入:

5
1 1 1 4 4 4 4 1 2 2 3 3 2 3
1 2 0 3 4 0 5 2 6 3

输出:

2 3 6

解题思路

该问题提供的输入信息给出了：点的坐标和两点之间是否有墙。因此可以将点之间的可达性建模成一个图问题。门之间只能经过其他的门，这意味着门之间的两点之间如果没有可达路径，则可以在这两个门之间建造一道新的墙。因此我们需要将输入信息转换为一个图，并删除不必要的墙。

算法流程如下：

1. 先将门两两之间进行连通性分析。
2. 在所有连通的状态下，维护一个门的集合。
3. 对于一个集合中的两个门，计算它们之间的最短路径和经过的墙的数量。
4. 如果最短路径的距离为$0$，则删除这面墙，将两个集合合并。
5. 重复3和4的步骤，直到没有可合并的门集合。

有了步骤4中的墙很容易推导：通过门之间所连的墙数以及墙之间的位置等来确定。

代码实现如下所示（使用Python语言）：

TODO（代码片段按照Markdown格式给出）