扩展的欧几里得算法的C程序

简介

扩展的欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）是用于求两个数的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）以及一组整数解的线性同余方程的方法。在密码学中，扩展的欧几里得算法常用于RSA加密算法中的密钥生成过程，也常被用于解决一些有关于同余方程的问题。本篇文章将介绍如何实现一个扩展的欧几里得算法的C程序。

算法原理

假设我们要求$a$和$b$的最大公约数$gcd(a, b)$，以及一组整数解$x$和$y$满足以下同余方程：

$$ax + by = gcd(a, b)$$

首先，我们可以使用欧几里得算法求出$a$和$b$的最大公约数$gcd(a, b)$，这部分算法比较简单，不再赘述。

接下来，我们通过反复使用欧几里得算法进行迭代，求出一组整数解$x$和$y$的值。具体来说，假设我们已经求出了$gcd(b, a\ mod\ b)$的一组解$x_1$和$y_1$，那么根据同余方程上式，我们可以列出另一组同余方程：

$$bx_1 + (a\ mod\ b)y_1 = gcd(b, a\ mod\ b)$$

将上式中$a\ mod\ b$表示成$a - b\lfloor a/b\rfloor$的形式，再将其代入式子中，我们可以得到一个新的同余方程：

$$bx_1 + (a - b\lfloor a/b\rfloor)y_1 = gcd(b, a\ mod\ b)$$

进一步地，我们可以将上式中的$(a - b\lfloor a/b\rfloor)$表示成$b -(a\ mod\ b)$的形式，代入式子中，得到：

$$bx_1 + (b - (a\ mod\ b))y_1 = gcd(b, a\ mod\ b)$$

将上式中$a\ mod\ b$表示称为$ax2 + by2 = gcd(a,b)$,得到：

$$bx_1 + (b - ax_2 - by_2)y_1 = gcd(b, a\ mod\ b)$$

化简可以得到$x_2$和$y_2$的表达式：

$$x_2 = y_1$$

$$y_2 = x_1 - \lfloor a / b\rfloor y_1$$

通过不断的迭代，在求解$gcd(a, b)$的同时，我们也能求出一组整数解$x$和$y$满足同余方程。当$a$和$b$的最大公约数为1时，即$gcd(a, b)=1$时，我们可以使用扩展欧拉算法进一步求出$a$模$b$的逆元，用于解决一些具体的问题。

程序实现

下面是使用C语言实现扩展的欧几里得算法的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

/**
 * 扩展Euclidean算法
 * @param a 整数a
 * @param b 整数b
 * @param x 存储方程ax + by = gcd(a, b)中x的值的指针
 * @param y 存储方程ax + by = gcd(a, b)中y的值的指针
 * @return gcd(a, b)
 */
int extended_euclidean(int a, int b, int *x, int *y) {
    if (b == 0) {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }

    int x1, y1, gcd = extended_euclidean(b, a % b, &x1, &y1);
    *x = y1;
    *y = x1 - a / b * y1;
    return gcd;
}

int main() {
    int a = 35, b = 15, x, y;
    int gcd = extended_euclidean(a, b, &x, &y);
    printf("gcd(%d, %d) = %d, x = %d, y = %d", a, b, gcd, x, y);
    return 0;
}

上面这段代码实现了扩展的欧几里得算法，它接受两个整数$a$和$b$作为输入，并返回它们的最大公约数$gcd(a, b)$，以及一组整数解$x$和$y$满足同余方程$ax+by=gcd(a,b)$。在这个实现中，我们使用递归的方式来迭代求解$x$和$y$的值，直到$b$变为0时，算法终止，返回$a$，此时$x=1$，$y=0$；否则，我们根据上面推导出的公式，求解新的$x$和$y$的值，最终返回$gcd(a, b)$。

如果我们要使用扩展的欧几里得算法解决一些具体的问题，比如求$a$模$b$的逆元，只需要在计算出$gcd(a, b)=1$之后，使用下面的公式即可：

$$a^{-1} \equiv x \mod b$$

其中$x$就是我们在求解过程中得到的一组整数解中的$x$值。