扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法是用于计算两个整数$a,b$的最大公约数及其线性组合$x,y$的算法。具体而言，扩展欧几里得算法能够找到一组整数$x,y$，使得$ax+by=\gcd(a,b)$。在密码学中，这个算法经常用于计算模逆元，从而求解同余方程。下面是用Python实现扩展欧几里得算法的代码。

代码实现

def extended_gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        gcd, x, y = extended_gcd(b, a % b)
        return gcd, y, x - (a // b) * y

这个函数返回一个元组(gcd, x, y)，其中gcd为$a$和$b$的最大公约数，而$x$和$y$则满足$ax + by=\gcd(a,b)$。这个代码使用了递归的方式来实现扩展欧几里得算法。在递归结束时，即$b=0$时，$a$就是最大公约数，而$x=1$，$y=0$。否则，程序会继续递归，并将计算出的最大公约数、$y$和$x-(a//b)*y$返回。

使用示例

以下是一个使用扩展欧几里得算法的示例。这个示例演示了如何求解同余方程$ax\equiv b\pmod{n}$的解。假设我们要求解$25x\equiv 40 \pmod{85}$的解，即在模85的意义下求解25的模逆元。

gcd, x, y = extended_gcd(25, 85)
if gcd != 1:
    print("25没有模逆元")
else:
    x = (x % 85 + 85) % 85   # 确保x在[0, n-1]内
    print("25的模逆元是", x)   # 输出 17

这个示例在Python中使用扩展欧几里得算法来计算$25$和$85$的最大公约数和对应的$x$和$y$。由于$\gcd(25,85)=5$，$25$没有模逆元。在计算模逆元时，我们需要使用扩展欧几里得算法计算出$25$和$85$的最大公约数及其线性组合。具体而言，我们需要找到一个整数$x$，使得$25x+85y=1$，即需要找到$25$在模$85$意义下的乘法逆元$x$。通过计算，我们得到$25$在模$85$下的乘法逆元是$17$。

总结

扩展欧几里得算法是计算最大公约数和线性组合的有效算法。在密码学中，这个算法经常用于计算模逆元。这个算法的实现非常简单，在Python中只需要几行代码就可以实现。