扩展欧几里得算法找到 x 和 y - C 编程语言

在数论中，扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）用于计算两个整数 a 和 b 的最大公约数（GCD），以及它们的贝祖等式（Bézout's identity）的系数 x 和 y，即满足 ax + by = gcd(a, b) 的解 x 和 y。

在本文中，我们将介绍如何使用 C 编程语言实现扩展欧几里得算法，并且给出一些代码示例。

扩展欧几里得算法的原理

要理解扩展欧几里得算法的原理，我们需要先了解欧几里得算法的原理。欧几里得算法又称辗转相除法，是求最大公约数的经典算法。

欧几里得算法的原理是，对于任意两个非负整数 a 和 b（a ≥ b），它们的最大公约数等于 b 和 a mod b 的最大公约数。换句话说，可以通过反复地用较小数去除较大数，直到较大数被除尽为止，来得到两个数的最大公约数。

扩展欧几里得算法基于欧几里得算法，通过反向递推的方式求解贝祖等式的系数 x 和 y。

扩展欧几里得算法的实现

下面是使用 C 语言实现扩展欧几里得算法的代码：

#include <stdio.h>

int extended_gcd(int a, int b, int* x, int* y) {
    if (b == 0) {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }

    int x1, y1;
    int gcd = extended_gcd(b, a % b, &x1, &y1);

    *x = y1;
    *y = x1 - (a / b) * y1;

    return gcd;
}

这段代码中，extended_gcd 函数接收两个整数 a 和 b，以及两个指针 x 和 y。函数的返回值是 a 和 b 的最大公约数。

函数的实现分为两个步骤：

1. 如果 b 等于 0，则 x 等于 1，y 等于 0，返回 a 作为最大公约数。
2. 否则，递归调用 extended_gcd(b, a % b, &x1, &y1) 来计算 b 和 a mod b 的最大公约数及其系数 x1 和 y1。然后，根据贝祖等式的递推公式 ax + by = gcd(a, b) ≡ gcd(b, a % b) = bx1 + (a mod b)y1，计算当前的 x 和 y。

扩展欧几里得算法的应用

扩展欧几里得算法的主要应用是计算模反元素。对于两个正整数 a 和 m，如果它们互质（即 gcd(a, m) = 1），则存在一个整数 x，使得 ax ≡ 1 (mod m)。这个 x 就被称为 a 在模 m 意义下的逆元素。

通过扩展欧几里得算法计算出 a 和 m 的最大公约数以及对应的系数 x 和 y，如果 gcd(a, m) = 1，则 x 就是 a 在模 m 意义下的逆元素。如果 gcd(a, m) ≠ 1，则 a 和 m 没有逆元素。

下面是使用扩展欧几里得算法计算模反元素的示例代码：

#include <stdio.h>

int extended_gcd(int a, int b, int* x, int* y) {
    if (b == 0) {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }

    int x1, y1;
    int gcd = extended_gcd(b, a % b, &x1, &y1);

    *x = y1;
    *y = x1 - (a / b) * y1;

    return gcd;
}

int mod_inverse(int a, int m) {
    int x, y;
    int gcd = extended_gcd(a, m, &x, &y);

    if (gcd != 1) {
        printf("%d 没有逆元素。\n", a);
        return -1;
    } else {
        int result = (x % m + m) % m;
        printf("%d 在模 %d 意义下的逆元素是 %d。\n", a, m, result);
        return result;
    }
}

int main() {
    mod_inverse(7, 11);
    mod_inverse(4, 12);
    mod_inverse(8, 14);
    mod_inverse(9, 15);
    mod_inverse(12, 18);

    return 0;
}

这段代码中，mod_inverse 函数接收两个整数 a 和 m，调用 extended_gcd 函数计算 a 和 m 的最大公约数 gcd(a, m) 以及对应的系数 x 和 y。

如果 gcd(a, m) ≠ 1，则 a 没有逆元素，函数返回 -1。否则，计算出 x mod m 的值，它就是 a 在模 m 意义下的逆元素。

最后，我们在 main 函数中调用 mod_inverse 函数以计算不同的模反元素。

总结

扩展欧几里得算法是求解最大公约数及其系数的经典算法，可以帮助我们计算模反元素等问题。在 C 编程语言中，我们可以通过递归调用实现扩展欧几里得算法的求解。