欧几里得算法(基本和扩展)

欧几里得算法，也被称为辗转相除法，用于求两个正整数的最大公约数(GCD)，其基本思想是：用较小数去除较大数，再用余数去除除数，直到余数为0时，最后的除数即为最大公约数。本文将分别介绍欧几里得算法的基本实现和扩展实现。

基本欧几里得算法

使用递归实现，代码如下：

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

其中，a和b分别为需要计算GCD的两个正整数。具体实现中，将b和a%b作为参数传入函数中，直到b等于0，此时a即为最大公约数。

扩展欧几里得算法

除了计算最大公约数，扩展欧几里得算法还可以求解一元线性不定方程ax + by = gcd(a,b)的一组特解。代码如下：

def extended_gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        gcd, x, y = extended_gcd(b, a % b)
        return gcd, y, x - (a // b) * y

其中，a和b同样为需要计算GCD的两个正整数。函数返回一个元组，依次包含最大公约数gcd和一组特解x，y。

总结

欧几里得算法是求两个正整数的最大公约数的常用算法，其基本实现是使用递归计算，扩展实现除了计算最大公约数，可以求解一元线性不定方程的一组特解。应用场景非常广泛，尤其在密码学领域中有重要的应用。