如何计算单位向量？

物理量分为“矢量”和“标量”两种。术语“矢量”是指具有大小和方向的物理量。这些是遵循向量加法三角定律的物理量。矢量的一些例子是电场、位移、动量、速度、力和加速度。所有这些量都有大小和方向。另一方面，“标量”数量只有量级。标量的一些例子是距离、长度、体积、温度和面积。

载体类型

• 等向量：具有相同大小和相同方向的向量称为等向量。
• 共线向量：方向相同或方向相反的向量称为共线向量。
• 平行向量：平行向量也称为相似向量。具有相似方向的共线向量称为平行向量。这些向量之间的角度为零。
• 反平行向量：与向量不同，反平行向量也称为反平行向量。具有相反方向的共线向量称为反平行向量。这些向量之间的角度为 180°。
• 共面向量：位于同一平面上的所有向量称为共面向量。
• 零向量：起点和终点相同的向量称为零向量。它也被称为空向量。这样一个向量的大小为 0，它的方向是不确定的。

计算单位向量

单位向量是大小为 1 且方向沿给定向量的向量。它表示给定向量的方向。向量的单位向量是通过向量除以其模数得出的。向量的模是向量的大小。

It is represented by symbol ‘ ${\hat{}}$ ‘(hat or cap) over a variable as ${\hat{A}}$ and is given by,

$\hat{A} = \frac{\vec{A}} {|A|}$

Where |A| is the modulus of vector A and for a vector $\vec{A} = {x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}}$, |A| is given by,

$|A| = \sqrt{{x}^2+{y}^2+{z}^2}$

Thus for a vector $\vec{A} = {x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}}$, unit vector is given by,

$\hat{A} = \frac{x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}}{\sqrt{{x}^2+{y}^2+{z}^2}}$

示例问题

问题1：给定${{\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}}}$ .找${{\hat{a}}}$ .

解决方案：

Modulus of the vector, $|a| = \sqrt{{x}^2+{y}^2+{z}^2}$

= ${\sqrt{2^2+2^2+1^2}}$= √9

= 3

Unit vector, $\hat{a} = \frac{\vec{a}} {|a|}$

= ${\frac{{2\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}}}{3}}$ 

= ${{\frac{2\hat{i}}{3} + \frac{2\hat{j}}{3} + \frac{1\hat{k}}{3}}}$

问题2：一个向量是由${{\vec{a} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}}}$也是单位向量？

解决方案：

Modulus of the vector, $|a| = \sqrt{{x}^2+{y}^2+{z}^2}$

= ${\sqrt{1^2+1^2+1^2}}$ = √3

Magnitude of this vector is not 1. Hence, it is not a unit vector.

问题3：求方向的单位向量${{\vec{a} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}}}$ .

解决方案：

Modulus of the vector, $|a| = \sqrt{{x}^2+{y}^2+{z}^2}$

= ${\sqrt{1^2+1^2+1^2}}$ = √3

Unit vector, ${\hat{a} = \frac{\vec{a}} {|a|}}$

= ${\frac{{1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}}}{\sqrt{3}}}$

= ${{\frac{1\hat{i}}{\sqrt{3}} + \frac{1\hat{j}}{\sqrt{3}} + \frac{1\hat{k}}{\sqrt{3}}}}$

问题 4：如果${{\vec{a}={\frac{1}{4}\hat{i} + \frac{1}{4}\hat{j} + z\hat{k}}}}$是一个单位向量，然后找到 z 的值。

解决方案：

Magnitude of a unit vector is 1, which means:

$|a| = \sqrt{{x}^2+{y}^2+{z}^2} = 1$

which means, 

${\sqrt{{(1/2)}^2+{(1/2)}^2+{z}^2} = 1}$

Squaring both sides,

${{{(1/2)}^2+{(1/2)}^2+{z}^2} = 1}$

${z^2=\frac{1}{2}}$

${z=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}}}$

问题5：求单位向量${{\vec{a} = 4\hat{i} + 3\hat{j}}}$ .

解决方案：

Modulus of the vector, $|a| = \sqrt{{x}^2+{y}^2+{z}^2}$

= ${\sqrt{4^2+3^2+0^2}}={5}$

Unit vector, $\hat{a} = \frac{\vec{a}} {|a|}$

= ${\frac{{4\hat{i} + 3\hat{j}}}{5}}$

= ${{\frac{4\hat{i}}{{5}} + \frac{3\hat{j}}{{5}}}}$

问题6：沿方向求单位向量${{\vec{a} = 4\hat{i}}}$ .

解决方案：

Modulus of the vector, $|a| = \sqrt{{x}^2+{y}^2+{z}^2}$

= ${\sqrt{4^2+0^2+0^2}}={4}$

Unit vector, ${\hat{a} = \frac{\vec{a}} {|a|}}$

= ${\frac{{4\hat{i}}}{4}}$

= ${{\hat{i}}}$

问题 7：如果单位向量沿${\vec{A}}$幅度为 2√2 是${\frac{1\hat{i}}{\sqrt{2}} + \frac{1\hat{j}}{\sqrt{2}}}$ .找${\vec{A}}$ .

解决方案：

Unit vector, ${\hat{A} = \frac{\vec{A}} {|A|}}$

Which means ${\vec{A} = {\hat{a}}\times{|a|}}$

Thus, ${\vec{A} = {({\frac{1\hat{i}}{\sqrt{2}} + \frac{1\hat{j}}{\sqrt{2}}}})}\times{2\sqrt{2}}$

${\vec{A} = 2\hat{i}+2\hat{j}}$