门|门 IT 2007 |第 61 题

这是一道非常经典的计算机科学问题，被广泛用于算法学习和面试考题中。此题需要比较好的数学知识和算法能力。

题目描述

假设有一个长度为 $n$ 的序列 $S$，序列中的每个元素都是非负整数。现在要求找到一个连续子序列 $S_{ij}$，使得该子序列的和最大，并返回子序列的和。

例如，序列 $S=[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]$ 的最大子段和为 $6$，对应的子序列是 $[4,-1,2,1]$。

解题思路

要解决这个问题，我们可以使用动态规划的方法。

令 $dp_i$ 表示以 $S_i$ 结尾的最大子序列和。那么对于任意 $i$，

$$ dp_i = \max{ S_i, dp_{i-1} + S_i} $$

其中，$S_i$ 表示第 $i$ 个元素的值，$dp_{i-1}$ 表示以位置 $i-1$ 结尾的最大子序列和。由于最大子序列必然是连续的一段，所以 $dp_i$ 可以用 $S_i$ 或 $dp_{i-1} + S_i$ 两者的最大值更新。

最终，我们只需要遍历整个数组，找到 $dp$ 数组中的最大值即可。

代码片段：

def max_subarray_sum(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])
    return max(dp)

这段代码中，我们用列表 dp 存储每个位置的最大子序列和。初始化时，我们将第一个元素的值赋给 dp[0]，而对于后面的元素，我们按上述方法进行递推。

最后，我们返回 dp 数组中的最大值，即为原序列的最大子段和。

总结

这道题是一道经典的动态规划问题，也是算法面试中的常客。掌握动态规划思想以及这个问题的解法，对于提高算法能力和面试竞争力都有很大帮助。