门|门 IT 2007 - 问题 9

简介

本篇题目是门|门 IT 2007 中的第9题，需要求解一个集合划分问题，具体细节将在下面提供。

题目描述

给定一个集合 $S$，以及一个整数 $k$，请编写一个程序，将 $S$ 划分成 $k$ 个集合，使得每个集合的元素数量之和最小。例如，当 $S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}$，k=3时，其中一种最优划分是${{1,2,3,4}, {5,6,7}, {8,9}}$.

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $k$，其中 $n$ 表示集合 $S$ 中元素的数量，$k$ 表示划分的个数。($1 \leq k \leq n \leq 1000$)

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，表示集合 $S$ 中的元素。$(1 \leq a_i \leq 100)$

输出格式

输出一个整数，表示将集合 $S$ 按要求划分后，每个集合中元素数量之和的最小值。

示例

输入：

9 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9

输出：

6

解题思路

这是一道典型的贪心算法题目，首先将集合 $S$ 中的所有元素从小到大排序，然后可以依次将每个元素加入到某个集合中，使其把集合的元素数量之和最小化。具体而言，可以用一个数组 $f_i$ 表示划分成 $i$ 个集合时的最小值，然后根据贪心策略依次求出 $f_1, f_2, \cdots, f_k$。

详细的证明和实现可以参考算法竞赛入门经典: 训练指南，比较好的文献。

代码实现

def min_sum(n, k, arr):
    arr.sort()
    f = [0] * n
    s = [0] * n
    for i in range(n):
        s[i] = s[i-1] + arr[i]
        f[i] = s[i]
    for i in range(2, k+1):
        for j in range(i-1, n):
            f[j] = float('inf')
            for x in range(j):
                f[j] = min(f[j], f[x] + s[j] - s[x])
    return f[n-1]

以上代码采用了Python语言编写，对应代码块请标明python。其中定义了一个名为 min_sum 的函数，实现了上述的算法思路，并返回了求解的最小值。