集合是不同元素的无序集合。通过使用set括号列出其元素可以明确地编写它。如果元素的顺序更改或重复集合中的任何元素，则不会对集合进行任何更改。

例

• 一组所有正整数。
• 太阳系中所有行星的集合。
• 印度所有州的集合。
• 字母表中所有小写字母的集合。

集合的数学表示

集可以两种方式表示-

名册或表格形式

以这种形式，一个集合通过列出组成它的所有元素来表示。元素用大括号括起来，并用逗号分隔。

以下是以名册或表格形式设置的示例-

• 英文字母的元音集，A = {a，e，i，o，u}
• 小于10的奇数集，B = {1,3,5,7,9}

设置构建器符号

以这种形式，通过指定集合元素具有相同属性的方式来定义集合。该集合描述为A = {x：p(x)}

示例1-集{a，e，i，o，u}表示为

A = {x：x是英文字母的元音}

示例2-集{1,3,5,7,9}被写为

B = {x：1≤x <10且(x％2)≠0}

如果元素x是任何集合S的成员，则用x∈S表示；如果元素y不是集合S的成员，则用y∉S表示。

示例-如果S = {1,1.2,1.7,2}，1∈S但1.5∉S

集合的基数

用| S || S |表示的集合S的基数是该集合的元素数。该号码也称为基数。如果集合具有无限个元素，则其基数为∞∞。

示例-|| {1,4,3,5} | = 4，| {1,2,3,4,5，…} | =∞

如果有两个X和Y， | X | = | Y |表示具有相同基数的两组X和Y。当X中的元素数量与Y中的元素数量完全相等时，会发生这种情况。在这种情况下，存在从X到Y的双射函数’f’。

| X | ≤| Y |表示集合X的基数小于或等于集合Y的基数。当X中的元素数小于或等于Y时，会发生这种情况。这里，存在从X到Y的内射函数’f’。

| X | <| Y |表示集合X的基数小于集合Y的基数。当X中的元素数量少于Y时，就会发生这种情况。这里，从X到Y的函数’f’是内射函数，而不是双射函数。

如果| X | ≤| Y |和| X | ≤| Y |然后| X | = | Y | 。 X和Y集通常称为等效集。

集的类型

集可以分为多种类型；其中一些是有限，无限，子集，通用，固有，单例集等。

有限集

包含一定数量元素的集合称为有限集合。

例子-S = {x | x∈N并且70> x> 50}

无限集

包含无限数量元素的集合称为无限集合。

示例-S = {x | x∈N并且x> 10}

子集

如果X的每个元素都是集合Y的元素，则集合X是集合Y的子集(写为X⊆Y)。

示例1-设X = {1,2,3,4,5,6}和Y = {1,2}。这里的集合Y是集合X的子集，因为集合Y的所有元素都在集合X中。因此，我们可以写Y⊆X。

示例2-设X = {1,2,3}和Y = {1,2,3}。由于集合Y的所有元素都在集合X中，因此集合Y是集合X的子集(不是适当的子集)。因此，我们可以写Y⊆X。

适当的子集

术语“适当的子集”可以被定义为“但不等于”的子集。如果X的每个元素都是集合Y的元素并且| X |，则集合X是集合Y的适当子集(写为X⊂Y)。 <| Y |。

示例-设X = {1,2,3,4,5,6}和Y = {1,2}。这里设置Y⊂X，因为Y中的所有元素也都包含在X中，并且X具有至少一个大于集合Y的元素。

通用套装

它是特定上下文或应用程序中所有元素的集合。该上下文或应用程序中的所有集合本质上都是该通用集合的子集。通用集表示为U。

示例-我们可以将U定义为地球上所有动物的集合。在这种情况下，所有哺乳动物的集合是U的子集，所有鱼类的集合是U的子集，所有昆虫的集合是U的子集，依此类推。

空集或空集

空集不包含任何元素。用Φ表示。由于空集中的元素数是有限的，因此空集是有限集。空集或空集的基数为零。

示例– S = {x | x∈N且7

单件套或单位套

单例集或单元集仅包含一个元素。单例集用{s}表示。

示例-S = {x | x∈N，7

均等集

如果两组包含相同的元素，则称它们相等。

示例-如果A = {1,2,6}和B = {6,1,2}，则它们相等，因为集合A的每个元素都是集合B的元素，集合B的每个元素都是集合A的元素。

等价集

如果两组的基数相同，则称为等效集。

示例-如果A = {1,2,6}和B = {16,17,22}，它们等效，因为A的基数等于B的基数，即| A | = | B | = 3

重叠集

具有至少一个公共元素的两个集合称为重叠集合。在重叠的情况下-

$$ n \ left(A \ cup B \ right)= n \ left(A \ right)+ n \ left(B \ right)-n \ left(A \ cap B \ right)$$

$$ n \ left(A \ cup B \ right)= n \ left(AB \ right)+ n \ left(BA \ right)+ n \ left(A \ cap B \ right)$$

$$ n \ left(A \ right)= n \ left(AB \ right)+ n \ left(A \ cap B \ right)$$

$$ n \ left(B \ right)= n \ left(BA \ right)+ n \ left(A \ cap B \ right)$$

示例-设A = {1,2,6}和B = {6,12,42}。有一个公共元素“ 6”，因此这些集合是重叠的集合。

不相交集

如果两个集合A和B没有相同的元素，则称为不交集。因此，不相交集具有以下属性-

$$ n \ left(A \ cap B \ right)= \ phi $$

$$ n \ left(A \ cup B \ right)= n \ left(A \ right)+ n \ left(B \ right)$$

示例-假设A = {1,2,6}和B = {7,9,14}，没有单个公共元素，因此这些集合是重叠集合。

经典集上的运算

集合运算包括集合并集，集合相交，集合差，集合补数和笛卡尔乘积。

联盟

集A和B的并集(用A∪BA∪B表示)是在A，B或在A和B中的元素集合。因此，A A B = {x | x∈A OR x ∈B}。

示例-如果A = {10,11,12,13}和B = {13,14,15}，则A∪B = {10,11,12,13,14,15} –公共元素仅出现一次。

路口

集A和B的交集(用A∩B表示)是在A和B中都包含的元素的集合。因此，A∩B = {x | x∈A AND x∈B}。

差异/相对补数

集A和集B的集差(用A–B表示)是仅在A中但不在B中的元素集。因此，A-B = {x | x∈A AND x∉B}。

示例-如果A = {10,11,12,13}且B = {13,14,15}，则(AB)= {10,11,12}且(B − A)= {14,15 }。在这里，我们可以看到(A − B)≠(B − A)

补集

集A的补数(用A’表示)是不在集A中的元素集。因此，A’= {x | x∉A}。

更具体地说，A’=(UA)，其中U是包含所有对象的通用集。

示例-如果A = {x | x属于加整数集}，则A’= {y | y不属于奇数集}

笛卡尔积/叉积

n个集合A1，A2，… An的笛卡尔积表示为A1×A2 …×An可以定义为所有可能的有序对(x1，x2，… xn)，其中x1∈A1，x2∈A2，… xn∈An

示例-如果我们采用两组A = {a，b}和B = {1,2}，

A和B的笛卡尔积表示为-A×B = {(a，1)，(a，2)，(b，1)，(b，2)}

并且，B和A的笛卡尔积被写为-B×A = {(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)}

古典集的性质

集合上的属性对于获得解决方案起着重要作用。以下是古典集的不同属性-

交换性质

具有两组A和B ，此属性表示-

$$ A \杯子B = B \杯子A $$

$$ A \ cap B = B \ cap A $$

关联财产

具有三组A ， B和C ，此属性表示-

$$ A \ cup \ left(B \ cup C \ right)= \ left(A \ cup B \ right)\ cup C $$

$$ A \ cap \ left(B \ cap C \ right)= \ left(A \ cap B \ right)\ cap C $$

分配财产

具有三组A ， B和C ，此属性表示-

$$ A \ cup \ left(B \ cap C \ right)= \ left(A \ cup B \ right)\ cap \ left(A \ cup C \ right)$$

$$ A \ cap \ left(B \ cup C \ right)= \ left(A \ cap B \ right)\ cup \ left(A \ cap C \ right)$$

幂等性

对于任何集合A ，此属性都说明-

$$ A \ cup A = A $$

$$ A \上限A = A $$

身份属性

对于集合A和通用集合X ，此属性表示-

$$ A \ cup \ varphi = A $$

$$ A \上限X = A $$

$$ A \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ A \杯子X = X $$

传递性

具有三组A ， B和C ，该属性表示-

如果$ A \ subseteq B \ subseteq C $，则$ A \ subseteq C $

内卷属性

对于任何集合A ，此属性都说明-

$$ \ overline {{\ overline {A}}} = A $$

德摩根定律

这是一项非常重要的法律，支持证明重言式和矛盾。该法律规定-

$$ \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ cup \ overline {B} $$

$$ \ overline {A \ cup B} = \ overline {A} \ cap \ overline {B} $$