模糊集可以看作是经典集的扩展和过度简化。在集合成员身份的上下文中可以最好地理解它。基本上，它允许部分成员资格，这意味着它包含在集合中具有不同成员资格程度的元素。由此，我们可以了解经典集和模糊集之间的区别。经典集包含满足成员资格精确属性的元素，而模糊集包含满足成员身份不精确属性的元素。

数学概念

信息$ U $中的模糊集$ \ widetilde {A} $可以定义为一组有序对，并且在数学上可以表示为-

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left(y，\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left(y \ right)\ right)| y \ in U \ right \} $$

此处$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left(y \ right)$ = $ y $在\ widetilde {A}中的隶属度，其取值范围为0到1，即$ \ mu _ {\ widetilde {A}}(y)\在\ left [0,1 \ right] $中。

模糊集的表示

现在让我们考虑两种情况的信息，并了解如何表示模糊集。

情况1

当信息$ U $的范围是离散且有限的时-

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left(y_1 \ right}} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left(y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left(y_3 \ right)} {y_3} + … \ right \} $$

$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left(y_i \ right)} {y_i} \ right \} $

情况二

当信息$ U $的范围是连续且无限的时-

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left(y \ right)} {y} \ right \} $$

在上面的表示中，求和符号表示每个元素的集合。

模糊集的运算

有两个模糊集$ \ widetilde {A} $和$ \ widetilde {B} $，信息宇宙$ U $和宇宙的元素,，以下关系表示模糊集合的并，交和补运算。

联盟/模糊’OR’

让我们考虑以下表示形式，以了解Union / Fuzzy“ OR”关系的工作方式-

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \左(y \ right)= \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \四\ forall y \ in美元

∨代表“最大”运算。

交叉口/模糊“与”

让我们考虑以下表示形式，以了解相交/模糊“与”关系的工作原理-

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left(y \ right)= \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \四\ forall y \ in美元

∧代表“最小”运算。

补语/模糊“不”

让我们考虑以下表示形式，以了解补数/模糊“ NOT”关系的工作原理-

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left(y \ right)\ quad y \ in U $$

模糊集的性质

让我们讨论模糊集的不同性质。

交换性质

具有两个模糊集$ \ widetilde {A} $和$ \ widetilde {B} $，此属性表示-

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cup \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$

关联财产

具有三个模糊集$ \ widetilde {A} $，$ \ widetilde {B} $和$ \ widetilde {C} $，此属性表示-

$$(\ widetilde {A} \ cup \ left \ widetilde {B})\ cup \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup(\ widetilde {B} \ right)\ cup \ widetilde {C})$$

$$(\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B})\ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup(\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C})$$

分配财产

具有三个模糊集$ \ widetilde {A} $，$ \ widetilde {B} $和$ \ widetilde {C} $，此属性表示-

$$ \ widetilde {A} \ cup \ left(\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right)= \ left(\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right)\ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right)$$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ left(\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right)= \ left(\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right)\ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right)$$

幂等性

对于任何模糊集$ \ widetilde {A} $，此属性表示-

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

身份属性

对于模糊集$ \ widetilde {A} $和通用集$ U $，此属性表示-

$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ \ widetilde {A} \ cup U = U $$

传递性

具有三个模糊集$ \ widetilde {A} $，$ \ widetilde {B} $和$ \ widetilde {C} $，此属性表示-

$$ If \\：\ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}，\：then \：\ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C} $$

内卷属性

对于任何模糊集$ \ widetilde {A} $，此属性表示-

$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$

德摩根定律

该法在证明重言式和矛盾方面起着至关重要的作用。该法律规定-

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$