令S为$ \ mathbb {R} ^ n $中的非空集合然后，由$ S ^ * $表示的S的极锥由$ S ^ * = \ left \ {p \ in \ mathbb {R } ^ n，p ^ Tx \ leq 0 \：\ forall x \ in S \ right \} $。

备注

• 即使S不凸，极锥也总是凸的。

• 如果S为空集，则$ S ^ * = \ mathbb {R} ^ n $。

• 极性可以看作是正交性的概括。

令$ C \ subseteq \ mathbb {R} ^ n $然后是C的正交空间，表示为$ C ^ \ perp = \ left \ {y \ in \ mathbb {R} ^ n：\ left \ langle x，y \ right \ rangle = 0 \ forall x \ in C \ right \} $。

引理

假设$ S，S_1 $和$ S_2 $是$ \ mathbb {R} ^ n $中的非空集，则以下语句为真-

• $ S ^ * $是一个封闭的凸锥。

• $ S \ subseteq S ^ {**} $其中$ S ^ {**} $是$ S ^ * $的极锥。

• $ S_1 \ subseteq S_2 \ Rightarrow S_ {2} ^ {*} \ subseteq S_ {1} ^ {*} $。

证明

步骤1- $ S ^ * = \ left \ {p \ in \ mathbb {R} ^ n，p ^ Tx \ leq 0 \：\ forall \：x \ in S \ right \} $

• 设$ x_1，x_2 \ in S ^ * \ Rightarrow x_ {1} ^ {T} x \ leq 0 $和$ x_ {2} ^ {T} x \ leq 0，\ forall x \ in S $

  对于$ \ lambda \ in \ left(0，1 \ right)，\ left [\ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_2 \ right] ^ Tx = \ left [\ left(\ lambda x_1 \ right )^ T + \ left \ {\ left(1- \ lambda \ right)x_ {2} \ right \} ^ {T} \ right] x，\ forall x \ in S $

  $ = \ left [\ lambda x_ {1} ^ {T} + \ left(1- \ lambda \ right)x_ {2} ^ {T} \ right] x = \ lambda x_ {1} ^ {T} x + \ left(1- \ lambda \ right)x_ {2} ^ {T} \ leq 0 $

  因此$ \ lambda x_1 + \ left(1- \ lambda \ right)x_ {2} \ in S ^ * $

  因此，$ S ^ * $是凸集。

• 对于$ \ lambda \ geq 0，p ^ {T} x \ leq 0，\ forall \：x \ in S $

  因此，$ \ lambda p ^ T x \ leq 0，$

  $ \ Rightarrow \ left(\ lambda p \ right)^ T x \ leq 0 $

  $ \ Rightarrow \ lambda p \ in S ^ * $

  因此，$ S ^ * $是一个圆锥体。

• 要显示$ S ^ * $已关闭，即要显示$ p_n \ rightarrow p $是否为$ n \ rightarrow \ infty $，则$ p \ in S ^ * $

  $ \ forall x \ in S，p_ {n} ^ {T} xp ^ T x = \ left(p_n-p \ right)^ T x $

  as $ p_n \ rightarrow p $ as $ n \ rightarrow \ infty \ Rightarrow \ left(p_n \ rightarrow p \ right)\ rightarrow 0 $

  因此$ p_ {n} ^ {T} x \ rightarrow p ^ {T} x $。但是$ p_ {n} ^ {T} x \ leq 0，\：\ forall x \ in S $

  因此，$ p ^ Tx \ leq 0，\ forall x \ in S $

  $ \ Rightarrow p \ in S ^ * $

  因此，$ S ^ * $被关闭。

步骤2- $ S ^ {**} = \ left \ {q \ in \ mathbb {R} ^ n：q ^ T p \ leq 0，\ forall p \ in S ^ * \ right \} $

设$ x \ in S $，然后$ \ forall p \ in S ^ *，p ^ T x \ leq 0 \ Rightarrow x ^ Tp \ leq 0 \ Rightarrow x \ in S ^ {**} $

因此，$ S \ subseteq S ^ {**} $

步骤3- $ S_2 ^ * = \ left \ {p \ in \ mathbb {R} ^ n：p ^ Tx \ leq 0，\ forall x \ in S_2 \ right \} $

由于$ S_1 \ subseteq S_2 \ Rightarrow \ forall x \在S_2 \ Rightarrow \ forall x \ in S_1 $

因此，如果$ \ hat {p} \ in S_2 ^ *，则$ then $ \ hat {p} ^ Tx \ leq 0，\ forall x \ in S_2 $

$ \ Rightarrow \ hat {p} ^ Tx \ leq 0，\ forall x \ in S_1 $

$ \ Rightarrow \ hat {p} ^ T \ in S_1 ^ * $

$ \ Rightarrow S_2 ^ * \ subseteq S_1 ^ * $

定理

令C为一个非空的封闭凸锥，则$ C = C ^ ** $

证明

$ C = C ^ {**} $前一个引理。

证明：$ x \ in C ^ {**} \ subseteq C $

设$ x \ in C ^ {**} $，设$ x \ notin C $

然后根据基本分离定理，存在一个向量$ p \ neq 0 $和一个标量$ \ alpha $，使得$ p ^ Ty \ leq \ alpha，\ forall y \ in C $

因此，$ p ^ Tx> \ alpha $

但是由于$ \ left(y = 0 \ right)\ in C $和$ p ^ Ty \ leq \ alpha，\ forall y \ in C \ Rightarrow \ alpha \ geq 0 $和$ p ^ Tx> 0 $

如果$ p \ notin C ^ * $，则在C $中存在一些$ \ bar {y} \ in，使得$ p ^ T \ bar {y}> 0 $和$ p ^ T \ left(\ lambda \ bar {y} \ right)$可以通过使$ \ lambda $足够大来任意增大。

这与以下事实相矛盾：$ p ^ Ty \ leq \ alpha，\ forall y \ in C $

因此，$ p \ in C ^ * $

由于$ x \ in C ^ * = \ left \ {q：q ^ Tp \ leq 0，\ forall p \ in C ^ * \ right \} $

因此，$ x ^ Tp \ leq 0 \ Rightarrow p ^ Tx \ leq 0 $

但是$ p ^ Tx> \ alpha $

因此是争执。

因此，$ x \ C $

因此，$ C = C ^ {**} $。