📅 最后修改于: 2020-11-25 05:18:53 🧑 作者: Mango
在本章中，我们将使用RouthHurwitz稳定性准则讨论‘s’域中的稳定性分析。在这个标准中，我们需要特征方程来找到闭环控制系统的稳定性。
Routh-Hurwitz稳定性判据具有稳定性的一个必要条件和一个充分条件。如果任何控制系统不满足必要条件，那么我们可以说该控制系统是不稳定的。但是，如果控制系统满足必要条件，则它可能稳定也可能不稳定。因此，充分的条件有助于了解控制系统是否稳定。
必要条件是特征多项式的系数应为正。这意味着特征方程的所有根都应具有负实部。
考虑阶次“ n”的特征方程为-
$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + … + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0 $$
需要注意的是，不应该有任何条款的n阶特征方程失踪。这意味着阶特征方程在n不应该有任何系数是零值。
充分的条件是Routh数组的第一列的所有元素都应具有相同的符号。这意味着Routh数组的第一列的所有元素都应为正或负。
如果特征方程的所有根都存在于“ s”平面的左半部分，则控制系统是稳定的。如果特征方程的至少一个根存在于“ s”平面的右半部分，则控制系统将不稳定。因此，我们必须找到特征方程的根，才能知道控制系统是稳定的还是不稳定的。但是，随着阶次增加，很难找到特征方程的根。
因此，要解决此问题，我们有Routh数组方法。在这种方法中，不需要计算特征方程的根。首先制定Routh表，并在Routh表的第一列中找到符号变化的数量。 Routh表的第一列中的正负号变化次数给出了存在于’s’平面右半部且控制系统不稳定的特征方程式的根数。
请按照以下步骤形成Routh表。
如下表所述，用特征多项式的系数填充Routh数组的前两行。从$ s ^ n $的系数开始，一直到$ s ^ 0 $的系数。
如下表所述，用元素填充Routh数组的其余行。继续此过程，直到获得$ s ^ 0 $行的第一列元素为$ a_n $。这里，$ a_n $是特征多项式中的$ s ^ 0 $的系数。
注-如果Routh表中的任何行元素都具有某个公因子，则可以用该因子除以该行元素，以简化操作。
下表显示了第n个顺序特征多项式的劳斯阵列。
$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + … + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 $$
|
$s^n$ |
$a_0$ |
$a_2$ |
$a_4$ |
$a_6$ |
… |
… |
|
$s^{n-1}$ |
$a_1$ |
$a_3$ |
$a_5$ |
$a_7$ |
… |
… |
|
$s^{n-2}$ |
$b_1=\frac{a_1a_2-a_3a_0}{a_1}$ |
$b_2=\frac{a_1a_4-a_5a_0}{a_1}$ |
$b_3=\frac{a_1a_6-a_7a_0}{a_1}$ |
… |
… |
… |
|
$s^{n-3}$ |
$c_1=\frac{b_1a_3-b_2a_1}{b_1}$ |
$c_2=\frac{b_1a_55-b_3a_1}{b_1}$ |
$\vdots$ |
|||
|
$\vdots $ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
|||
|
$s^1$ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
||||
|
$s^0$ |
$a_n$ |
例
让我们找到具有特征方程的控制系统的稳定性，
$$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$
步骤1-验证Routh-Hurwitz稳定性的必要条件。
特征多项式的所有系数$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $是正的。因此，控制系统满足必要条件。
步骤2-为给定的特征多项式形成Routh数组。
|
$s^4$ |
$1$ |
$3$ |
$1$ |
|
$s^3$ |
$3$ |
$2$ |
|
|
$s^2$ |
$\frac{(3 \times 3)-(2 \times 1)}{3}=\frac{7}{3}$ |
$\frac{(3 \times 1)-(0 \times 1)}{3}=\frac{3}{3}=1$ |
|
|
$s^1$ |
$\frac{\left ( \frac{7}{3}\times 2 \right )-(1 \times 3)}{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}$ |
||
|
$s^0$ |
$1$ |
步骤3-验证Routh-Hurwitz稳定性的充分条件。
Routh数组的第一列的所有元素均为正。 Routh数组的第一列没有符号更改。因此，控制系统是稳定的。
在形成Routh表时，我们可能会遇到两种情况。从这两种情况很难完成Routh表。
两种特殊情况是-
现在让我们逐一讨论如何克服这两种情况下的困难。
如果Routh数组的任何行仅包含第一个元素为零，并且其余元素中至少有一个具有非零值，则将第一个元素替换为小的正整数$ \ epsilon $。然后继续完成Routh表的过程。现在，通过替换$ \ epsilon $趋于零，在Routh表的第一列中找到符号变化的次数。
例
让我们找到具有特征方程的控制系统的稳定性，
$$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$
步骤1-验证Routh-Hurwitz稳定性的必要条件。
特征多项式的所有系数$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $是正的。因此，控制系统满足了必要条件。
步骤2-为给定的特征多项式形成Routh数组。
|
$s^4$ |
$1$ |
$1$ |
$1$ |
|
$s^3$ |
|
|
|
|
$s^2$ |
$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$ |
$\frac{(1 \times 1)-(0 \times 1)}{1}=1$ |
|
|
$s^1$ |
|||
|
$s^0$ |
$ s ^ 3 $行元素的公因子为2。因此，所有这些元素都除以2。
特殊情况(i) -仅$ s ^ 2 $行的第一个元素为零。因此，将其替换为$ \ epsilon $，然后继续完成Routh表的过程。
|
$s^4$ |
1 |
1 |
1 |
|
$s^3$ |
1 |
1 |
|
|
$s^2$ |
$\epsilon$ |
1 |
|
|
$s^1$ |
$\frac{\left ( \epsilon \times 1 \right )-\left ( 1 \times 1 \right )}{\epsilon}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon}$ |
||
|
$s^0$ |
1 |
步骤3-验证Routh-Hurwitz稳定性的充分条件。
由于$ \ epsilon $趋于零，因此Routh表变得像这样。
|
$s^4$ |
1 |
1 |
1 |
|
$s^3$ |
1 |
1 |
|
|
$s^2$ |
0 |
1 |
|
|
$s^1$ |
-∞ |
||
|
$s^0$ |
1 |
Routh表的第一列中有两个符号更改。因此，控制系统不稳定。
在这种情况下，请遵循以下两个步骤-
编写该行的辅助方程A(s)，该方程正好位于零行上方。
相对于s微分辅助方程A(s)。用这些系数填充零行。
例
让我们找到具有特征方程的控制系统的稳定性，
$$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$
步骤1-验证Routh-Hurwitz稳定性的必要条件。
给定特征多项式的所有系数均为正。因此，控制系统满足了必要条件。
步骤2-为给定的特征多项式形成Routh数组。
|
$s^5$ |
1 |
1 |
1 |
|
$s^4$ |
|
|
|
|
$s^3$ |
$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$ |
$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$ |
|
|
$s^2$ |
|||
|
$s^1$ |
|||
|
$s^0$ |
$ s ^ 4 $行元素的公因子为3。因此，所有这些元素都除以3。
特例(ii) -$ s ^ 3 $行的所有元素均为零。因此，写出辅助公式，即行$ s ^ 4 $的A(s)。
$$ A(s)= s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$
关于s微分以上方程。
$$ \ frac {\ text {d} A(s)} {\ text {d} s} = 4s ^ 3 + 2s $$
将这些系数放在$ s ^ 3 $行中。
|
$s^5$ |
1 |
1 |
1 |
|
$s^4$ |
1 |
1 |
1 |
|
$s^3$ |
|
|
|
|
$s^2$ |
$\frac{(2 \times 1)-(1 \times 1)}{2}=0.5$ |
$\frac{(2 \times 1)-(0 \times 1)}{2}=1$ |
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|
$s^1$ |
$\frac{(0.5 \times 1)-(1 \times 2)}{0.5}=\frac{-1.5}{0.5}=-3$ |
||
|
$s^0$ |
1 |
步骤3-验证Routh-Hurwitz稳定性的充分条件。
Routh表的第一列中有两个符号更改。因此，控制系统不稳定。
在Routh-Hurwitz稳定性准则中，我们可以知道闭环极点是在s平面的左半边还是在s平面的右半边或虚轴上。因此，我们找不到控制系统的性质。为了克服此限制，有一种称为根源的技术。我们将在接下来的两章中讨论这种技术。