📅 最后修改于: 2020-11-25 05:24:26 🧑 作者: Mango
在上一章中，我们学习了如何从微分方程和传递函数获得状态空间模型。在本章中，让我们讨论如何从状态空间模型获得传递函数。
我们知道线性时不变(LTI)系统的状态空间模型是-
$$ \ dot {X} = AX + BU $$
$$ Y = CX + DU $$
在状态方程的两侧应用拉普拉斯变换。
$$ sX = AX + BU $$
$$ \ Rightarrow(sI-A)X(s)= BU(s)$$
$$ \ Rightarrow X(s)=(sI-A)^ {-1} BU(s)$$
在输出方程的两侧应用拉普拉斯变换。
$$ Y = CX + DU $$
用上述公式中的X(s)值代替。
$$ \ Rightarrow Y(s)= C(sI-A)^ {-1} BU(s)+ DU(s)$$
$$ \ Rightarrow Y(s)= [C(sI-A)^ {-1} B + D] U(s)$$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y(s)} {U(s}} = C(sI-A)^ {-1} B + D $$
上式代表了系统的传递函数。因此，对于状态空间模型中表示的系统，可以使用此公式来计算系统的传递函数。
注意-当$ D = [0] $时，传递函数为
$$ \ frac {Y(s)} {U(s}} = C(sI-A)^ {-1} B $$
例
让我们将状态空间模型中表示的系统的传递函数计算为
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1和-1 \\ 1＆0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \开始{bmatrix} 0和1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
这里，
$$ A = \开始{bmatrix} -1和-1 \\ 1＆0 \ end {bmatrix}，\ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}，\ quad C = \ begin {bmatrix} 0和1 \ end {bmatrix} \ quad和\ quad D = [0] $$
当$ D = [0] $时，传递函数的公式为-
$$ \ frac {Y(s)} {U(s}} = C(sI-A)^ {-1} B $$
用上述方程式代替A，B和C矩阵。
$$ \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ begin {bmatrix} 0和1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1和1 \\-1＆s \ end {bmatrix } ^ {-1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y(s)} {U(s}} = \ begin {bmatrix} 0＆1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s＆-1 \\ 1＆s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1)s-1(-1)} \开始{bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y(s)} {U(s}} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0＆1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
因此，对于给定的状态空间模型，系统的传递函数为
$$ \ frac {Y(s)} {U(s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
如果系统具有初始条件，则将产生输出。由于即使没有输入也存在该输出，因此称为零输入响应$ x_ {ZIR}(t)$。在数学上，我们可以这样写：
$$ x_ {ZIR}(t)= e ^ {At} X(0)= L ^ {-1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {-1} X(0)\ right \} $$
根据以上关系，我们可以将状态转换矩阵$ \ phi(t)$编写为
$$ \ phi(t)= e ^ {At} = L ^ {-1} [sI-A] ^ {-1} $$
因此，可以通过将状态转换矩阵$ \ phi(t)$与初始条件矩阵相乘来获得零输入响应。
以下是状态转换矩阵的属性。
如果$ t = 0 $，则状态转换矩阵将等于一个Identity矩阵。
$$ \ phi(0)= I $$
仅通过将“ t”替换为“ -t”，状态转换矩阵的逆将与状态转换矩阵的逆相同。
$$ \ phi ^ {-1}(t)= \ phi(-t)$$
如果$ t = t_1 + t_2 $，则相应的状态转换矩阵等于两个状态转换矩阵在$ t = t_1 $和$ t = t_2 $的乘积。
$$ \ phi(t_1 + t_2)= \ phi(t_1)\ phi(t_2)$$
现在让我们一一讨论控制系统的可控性和可观察性。
的控制系统，所述如果控制系统的初始状态中的时间有限的持续时间被转移(改变)到其它一些希望的状态由受控输入是可控的。
我们可以使用卡尔曼检验来检查控制系统的可控性。
以以下形式编写矩阵$ Q_c $。
$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad … \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$
找到矩阵$ Q_c $的行列式，如果它不等于零，则控制系统是可控制的。
的控制系统被认为是可观察到的，如果它能够通过观察在时间有限的持续时间的输出，以确定所述控制系统的初始状态。
我们可以使用卡尔曼检验来检查控制系统的可观察性。
以下面的形式写矩阵$ Q_o $。
$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad(A ^ T)^ 2C ^ T \ quad … \ quad(A ^ T)^ {n-1} C ^ T \右] $$
找出矩阵$ Q_o $的行列式，如果它不等于零，那么控制系统是可观察到的。
例
让我们验证状态空间模型中表示为的控制系统的可控性和可观察性，
$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1和-1 \\ 1＆0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \开始{bmatrix} 0和1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
这里，
$$ A = \开始{bmatrix} -1和-1 \\ 1＆0 \ end {bmatrix}，\ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}，\ quad \ begin {bmatrix } 0＆1 \ end {bmatrix}，D = [0] \ quad和\ quad n = 2 $$
对于$ n = 2 $，矩阵$ Q_c $将为
$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$
我们将得到矩阵A和B的乘积为
$$ AB = \开始{bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_c = \开始{bmatrix} 1＆-1 \\ 0＆1 \ end {bmatrix} $$
$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$
由于矩阵$ Q_c $的行列式不等于零，因此给定的控制系统是可控制的。
对于$ n = 2 $，矩阵$ Q_o $将为-
$$ Q_o = \左[C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right] $$
这里，
$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1和1 \\-1＆0 \ end {bmatrix} \ quad和\ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $
我们将得到矩阵$ A ^ T $和$ C ^ T $的乘积为
$$ A ^ TC ^ T = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_o = \ begin {bmatrix} 0＆1 \\ 1＆0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow | Q_o | = -1 \ quad \ neq 0 $$
由于矩阵$ Q_o $的行列式不等于零，因此可以观察到给定的控制系统。
因此，给定的控制系统既可控制又可观察。