在前面的章节中，我们讨论了波特图。在那里，我们有幅值和相位与频率的函数，两个独立的地块。现在让我们讨论极坐标图。极坐标图是可以在幅度和相位之间绘制的图。在此，幅度仅由正常值表示。

$ G(j \ omega)H(j \ omega)$的极形式为

$$ G(j \ omega)H(j \ omega)= | G(j \ omega)H(j \ omega)| \ angle G(j \ omega)H(j \ omega)$$

极坐标图是一个图，可以通过从零到∞改变$ \ omega $来绘制$ G(j \ω)H(j \ omega)$的大小和相位角。极坐标图如下图所示。

该图形表由同心圆和径向线组成。同心圆和径向线分别代表幅度和相角。这些角度由逆时针方向上的正值表示。类似地，我们可以在顺时针方向上用负值表示角度。例如，逆时针方向的角度270 ⁰等于顺时针方向的角度-90 ⁰ 。

绘制极坐标图的规则

遵循这些规则来绘制极坐标图。

• 用开环传递函数$ s = j \ omega $代替。

• 写下$ G(j \ omega)H(j \ omega)$的大小和相位的表达式。

• 通过代入$ \ omega = 0 $，找到$ G(j \ omega)H(j \ omega)$的起始大小和相位。因此，极坐标图以该幅度和相角开始。

• 通过代入$ \ omega = \ infty $，找出$ G(j \ omega)H(j \ omega)$的结束幅度和相位。因此，极坐标图以该大小和相角结束。

• 通过使$ G(j \ omega)H(j \ omega)$的虚项等于零，并检查$ \ omega $的值，检查极坐标图是否与实轴相交。

• 通过使$ G(j \ omega)H(j \ omega)$的实项等于零，并找到$ \ omega $的值，检查极坐标图是否与虚轴相交。

• 为了更清楚地绘制极坐标图，请考虑$ \ omega $的其他值，找到$ G(j \ omega)H(j \ omega)$的大小和相位。

例

考虑闭环控制系统的开环传递函数。

$$ G(s)H(s)= \ frac {5} {s(s + 1)(s + 2)} $$

让我们使用上述规则绘制该控制系统的极坐标图。

步骤1-用开环传递函数代替$ s = j \ omega $。

$$ G(j \ omega)H(j \ omega)= \ frac {5} {j \ omega(j \ omega + 1)(j \ omega + 2)} $$

开环传递函数为

$$ M = \ frac {5} {\ omega(\ sqrt {\ omega ^ 2 + 1})(\ sqrt {\ omega ^ 2 + 4})} $$

开环传递函数的相角为

$$ \ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ {-1} \ omega- \ tan ^ {-1} \ frac {\ omega} {2} $$

步骤2-下表显示了开环传递函数在$ \ omega = 0 $ rad / sec和$ \ omega = \ infty $ rad / sec时的大小和相位角。

因此，极坐标图开始于(∞，-90 ⁰ )，结束于(0，-270 ⁰ )。括号内的第一项和第二项分别表示幅度和相位角。

步骤3-基于起点和终点极坐标，此极坐标图将与负实轴相交。与负实轴相对应的相角为-180 ⁰或180 ⁰ 。因此，通过将开环传递函数的相位角等于-180 ⁰或180 ⁰ ，我们将获得$ \ omega $值作为$ \ sqrt {2} $。

通过将$ \ omega = \ sqrt {2} $替换为开环传递函数，我们将获得$ M = 0.83 $。因此，当$ \ omega = \ sqrt {2} $且极坐标为(0.83，-180 ⁰ )时，极坐标图与负实轴相交。

因此，我们可以使用极坐标图中的上述信息绘制极坐标图。