控制系统-波特图 - 芒果文档

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📜 控制系统-波特图

📅 最后修改于: 2020-11-25 05:20:58 🧑 作者: Mango

波特图或波特图由两个图组成-

幅度图
相图

在两个图中，x轴表示角频率(对数刻度)。 yaxis表示幅度图中的开环传递函数的大小(线性标度)和相位图中的开环传递函数的相位角(线性标度)。

开环传递函数的大小(以dB为单位)为：

$$ M = 20 \：\ log | G(j \ omega)H(j \ omega)| $$

开环传递函数的相角(度)为-

$$ \ phi = \ angle G(j \ omega)H(j \ omega)$$

注意-对数的底数是10。

波特图的基础

下表显示了开环传递函数存在的项的斜率，大小和相角值。在绘制波特图时，此数据很有用。

Type of term	G(jω)H(jω)	Slope(dB/dec)	Magnitude (dB)	Phase angle(degrees)
Constant	$K$	$0$	$20 \log K$	$0$
Zero at origin	$j\omega$	$20$	$20 \log \omega$	$90$
‘n’ zeros at origin	$(j\omega)^n$	$20\: n$	$20\: n \log \omega$	$90\: n$
Pole at origin	$\frac{1}{j\omega}$	$-20$	$-20 \log \omega$	$-90 \: or \: 270$
‘n’ poles at origin	$\frac{1}{(j\omega)^n}$	$-20\: n$	$-20 \: n \log \omega$	$-90 \: n \: or \: 270 \: n$
Simple zero	$1+j\omega r$	$20$	$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $20\: \log \omega r\: for \: \omega > \frac{1}{r}$	$0 \: for \: \omega < \frac{1}{r}$ $90 \: for \: \omega > \frac{1}{r}$
Simple pole	$\frac{1}{1+j\omega r}$	$-20$	$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $-20\: \log \omega r\: for\: \omega > \frac{1}{r}$	$0 \: for \: \omega < \frac{1}{r}$ $-90\: or \: 270 \: for\: \omega > \frac{1}{r}$
Second order derivative term	$\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )$	$40$	$40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $20\: \log\:(2\delta\omega_n^2)\: for \: \omega=\omega_n$ $40 \: \log \: \omega\:for \:\omega > \omega_n$	$0 \: for \: \omega < \omega_n$ $90 \: for \: \omega = \omega_n$ $180 \: for \: \omega > \omega_n$
Second order integral term	$\frac{1}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$	$-40$	$-40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $-20\: \log\:(2\delta\omega_n^2)\: for \: \omega=\omega_n$ $-40 \: \log \: \omega\:for \:\omega > \omega_n$	$-0 \: for \: \omega < \omega_n$ $-90 \: for \: \omega = \omega_n$ $-180 \: for \: \omega > \omega_n$

考虑开环传递函数$ G(s)H(s)= K $。

量级$ M = 20 \：\ log K $ dB

相角$ \ phi = 0 $度

如果$ K = 1 $，则幅度为0 dB。

如果$ K> 1 $，则幅度将为正。

如果$ K <1 $，则幅度将为负。

下图显示了相应的波特图。

开环传输

开环传递度

幅度图是一条水平线，与频率无关。当K值为1时，0 dB线本身就是幅度图。对于K的正值，水平线会将$ 20 \：\ log K $ dB移到0 dB线上。对于K的负值，水平线将偏移$ 20 \：\ log K $ dB低于0 dB线。零度线本身是K的所有正值的相位图。

考虑开环传递函数$ G(s)H(s)= s $。

量级$ M = 20 \ log \ omega $ dB

相角$ \ phi = 90 ^ 0 $

在ω= 0.1 rad / sec时，幅度为-20 dB。

在$ω= 1 $ rad / sec时，幅度为0 dB。

在ω= 10 rad / sec时，幅度为20 dB。

下图显示了相应的波特图。

开环水平度

幅度图是一条线，斜率为20 dB / dec。这条线的起始值为ω= 0.1 rad / sec，幅度为-20 dB，并以相同的斜率继续。它以$ \ omega = 1 $ rad / sec触摸0 dB线。在这种情况下，相位图是90 ⁰线。

考虑开环传递函数$ G(s)H(s)= 1 + s \ tau $。

量级$ M = 20 \：log \ sqrt {1 + \ omega ^ 2 \ tau ^ 2} $ dB

相角$ \ phi = \ tan ^ {-1} \ omega \ tau $度

对于$ω<\ frac {1} {\ tau} $，幅度为0 dB，相位角为0度。

对于$ \ omega> \ frac {1} {\ tau} $，幅度为$ 20 \：\ log \ omega \ tau $ dB，相位角为90 ⁰ 。

下图显示了相应的波特图。

幅度线度

幅度图的幅度为0 dB，最高为\\ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec。从$ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec起，它的斜率为20 dB / dec。在这种情况下，相位图的相位角为0度，直到$ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec，从这里开始，相位图为90 ⁰ 。该Bode图称为渐近Bode图。

由于幅度和相位图用直线表示，因此精确波特图类似于渐近波特图。唯一的区别是，精确波特图将具有简单的曲线而不是直线。

同样，您可以为表中给出的开环传递函数的其他项绘制波特图。