标量和向量
在物理学中,量可以分为标量和向量。这些数量仅在方向上有所不同。矢量具有与它们相关联的方向和幅度,而标量只有幅度。这些量几乎出现在物理世界研究的每个部分。例如,两个量之间的距离是可以测量的,不需要方向来表示,这称为标量。而如果不使用粒子运动的方向,就无法描述粒子的运动。这称为向量。让我们详细研究这两种类型的量。
标量和向量数量
标量是仅具有与其相关联的值的量。这些量可以用一个数字完全表示。标量的一些例子是——物体的质量、两点之间的距离等。为了对标量进行运算,通常的代数规则起作用。这些数量可以像加减数字一样进行加减运算。
另一方面,向量是具有与其相关联的方向的量。对于加法和减法,这些量服从向量加法的三角定律。矢量的一些示例包括速度、加速度等。在描述速度时,指定方向是必要的。向量表示为 ,表示向量的方向和大小。在唯一幅度的情况下,|v|表示幅度。下图表示一个向量。箭头的长度代表向量的大小。
向量的相等性
当两个向量具有相同的大小和相同的方向时,它们被认为是相等的。下图显示了两个相等的向量,注意这些向量彼此平行且长度相同。该图的第二部分显示了两个不相等的向量,即使它们具有相同的大小,但它们并不相等,因为它们具有不同的方向。
向量与标量的乘法
将向量 a 与常数标量 k 相乘得到一个向量,其方向相同,但大小改变了 k 倍。该图显示了在乘以常数 k 之后和之前的向量。用数学术语来说,这可以重写为,
如果 k > 1,则向量的大小会增加,而当 k < 1 时,向量的大小会减小。
向量的加法
向量不能通过通常的代数规则相加。在添加两个向量时,必须考虑向量的大小和方向。三角定律用于将两个向量相加,下图显示了两个向量“a”和“b”以及它们相加后的结果。向量加法遵循交换性质,这意味着合成向量与两个向量相加的顺序无关。
–(交换性质)
向量加法三角定律
考虑上图中给出的向量。线PQ代表向量“p”,QR代表向量“q”。线 QR 表示合成向量。 AC的方向是从A到C。
线 AC 代表,
合成向量的大小由下式给出,
这表示两个向量之间的夹角。让是合成向量与向量 p 所成的角度。
向量加法的平行四边形定律
该定律只是理解向量加法的另一种方式。该定律指出,如果作用于同一点的两个向量由平行四边形的边表示,则这些向量的合成向量由平行四边形的对角线表示。下图显示了在平行四边形一侧表示的这两个向量。
示例问题
问题 1:求 v = i + 4j 的大小。
回答:
for a vector, v = ai + bj
|v| =
a = 1, b = 4
|v| =
⇒ |v| =
⇒ |v| = √17
问题 2:一个向量由下式给出,v = i + 4j。求向量按常数 5 缩放时的大小。
回答:
for a vector, v = ai + bj
|v| =
5|v| = |5v|
a = 1, b = 4
|5v|
⇒ |5(i + 4j)|
⇒ |5i + 20j|
|v| =
⇒ |v| =
⇒ |v| = √425
问题 3:一个向量由下式给出,v = i + j。求向量按常数 0.5 缩放时的大小。
回答:
for a vector, v = ai + bj
|v| =
0.5|v| = |0.5v|
a = 1, b = 1
|0.5v|
⇒ |0.5(i + j)|
⇒ |0.5i + 0.5j|
|v| =
⇒ |v| =
⇒ |v| = √0.5
问题 4:大小为 3 和 4 的两个向量。这些向量之间的夹角为 90°。求结果向量的大小。
回答:
Let the two vectors be given by p and q. Then resultant vector “r” is given by,
|p| = 3, |q| = 4 and
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ |r| = 5
问题 5:大小为 10 和 9 的两个向量。这些向量之间的夹角为 60°。求结果向量的大小。
回答:
Let the two vectors be given by p and q. Then resultant vector “r” is given by,
|p| = 10, |q| = 9 and
⇒
⇒
⇒
⇒
问题 6:大小为 4 和 4 的两个向量。这些向量之间的夹角为 60°。求合成向量的大小以及合成向量与 5 所成的角度。
回答:
Let the two vectors be given by p and q. Then resultant vector “r” is given by,
|p| = 4, |q| = 4 and
⇒
⇒
⇒
⇒ |r| = 4√3
angle made by the resultant,
⇒
⇒
⇒