计算总和在 [L, R] 范围内且最大和最小元素之间的差值至少为 X 的子序列数量

这是一个经典的动态规划问题。给定一个包含 N 个整数的序列 A，我们需要计算总和在 [L, R] 范围内且最大和最小元素之间的差值至少为 X 的子序列数量。

解法

我们将这个问题转化成一个动态规划问题。设 dp[i][j][0/1] 表示以第 i 个元素结尾，总和在 [L, R] 范围内且最大（或最小）的元素与前 i - 1 个元素的最大（或最小）元素的差至少为 X 的子序列数。

状态转移方程如下：

dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][0] if A[i] > j - X else dp[i - 1][j][0] + dp[i - 1][max(j - A[i], L)][1]
dp[i][j][1] = dp[i - 1][j][1] if A[i] < j + X else dp[i - 1][j][1] + dp[i - 1][min(j + A[i], R)][0]

其中，dp[i][j][0] 表示以第 i 个元素结尾的最小元素为 j 时的子序列数量，dp[i][j][1] 表示以第 i 个元素结尾的最大元素为 j 时的子序列数量。

时间复杂度为 O(N*W^2)。

代码

def count_subarrays(A, L, R, X):
    n = len(A)
    dp = [[[0, 0] for _ in range(R + X + 1)] for _ in range(n)]
    for j in range(A[0], R + X + 1):
        if L <= j <= R:
            dp[0][j][0] = 1
            dp[0][j][1] = 1
    for i in range(1, n):
        for j in range(A[i], R + X + 1):
            if L <= j <= R:
                dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][0] if A[i] > j - X else dp[i - 1][j][0] + dp[i - 1][max(j - A[i], L)][1]
                dp[i][j][1] = dp[i - 1][j][1] if A[i] < j + X else dp[i - 1][j][1] + dp[i - 1][min(j + A[i], R)][0]
    return sum(dp[n - 1][j][1] for j in range(L, R + 1))

总结

总和在 [L, R] 范围内且最大和最小元素之间的差值至少为 X 的子序列计数问题，是一个动态规划问题。我们可以将问题转化为一个二维状态的动态规划问题，然后使用状态转移方程求解。时间复杂度为 O(N*W^2)。