如何计算两个向量的点积？

矢量是具有大小和方向的二维实体。向量在几何上可以看作是一条有向线段，箭头表示方向，长度等于向量的大小。矢量的方向是从尾部到头部。如果两个向量具有相同的大小和方向，则它们是相同的。这表明如果我们取一个向量并将其转换为一个新点（不旋转它），我们最后得到的向量与我们开始的向量相同。

两个向量的点积

两个向量的大小与两个向量夹角的余弦的乘积称为向量的点积。两个向量的点积产生与两个向量在同一平面内的结果。点积可以是正实数值或负实数值。两个向量 a 和 b 的点积表示为：

a.b = |a||b|cosθ

点积的性质

• 交换性： $\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}.\vec{a}$
• 分布： $\vec{a}.(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c}$
• $(\vec a+\vec b). \vec c = \vec a. \vec c+ \vec b. \overrightarrow c$
• $(\lambda\vec a) . \vec b=\lambda(\vec{a})\vec{b}$
• 向量自身点积的平方根等于向量的长度，即$\vec a=\sqrt{\vec a . \vec a}$ .
• $(\overrightarrow a -\overrightarrow b). \overrightarrow c = \overrightarrow a. \overrightarrow c - \overrightarrow b. \overrightarrow c$
• $\overrightarrow a. (\overrightarrow b - \overrightarrow c) = \overrightarrow a. \overrightarrow b - \overrightarrow a. \overrightarrow c$

示例问题

问题 1. 大小为 6 和 7 单位的两个向量之间的夹角为 60 度。找到他们的点积。

解决方案：

Given: |a| = 6 units, |b| = 7 units and θ = 60°

We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ

= 6 . (7) . cos(60°)

= 42(½)

⇒ a . b= 21

问题 2. 大小为 10 和 5 单位的两个向量之间的夹角为 60 度。找到他们的点积。

解决方案：

Given: |a| = 10 units, |b| = 5 units and θ = 60°

We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ

= 10 . (5) . cos(60°)

= 50(½)

⇒ a . b= 25

问题 3. 大小为 100 和 50 单位的两个向量之间的夹角为 60 度。找到他们的点积。

解决方案：

Given: |a| = 100 units, |b| = 50 units and θ = 60°

We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ

= 100 . (50) . cos(60°)

= 5000(½)

⇒ a . b= 2500

问题 4. 大小为 4 和 2 单位的两个向量之间的夹角为 30 度。找到他们的点积。

解决方案：

Given: |a| = 4 units, |b| = 2 units and θ = 30°

We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ

= 4 . (2) . cos(30°)

= 8(√3/2)

⇒ a . b= 4√3

问题 5. 大小为 6 和 8 单位的两个向量之间的夹角为 60 度。找到他们的点积。

解决方案：

Given: |a| = 6 units, |b| = 8 units and θ = 60°

We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ

= 6 . (8) . cos(60°)

= 48(1/2)

⇒ a . b= 24

问题 5. 大小为 16 和 8 单位的两个向量之间的夹角为 60 度。找到他们的点积。

解决方案：

Given: |a| = 16 units, |b| = 8 units and θ = 60°

We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ

= 16 . (8) . cos(60°)

= 16. (8) . (1/2)

⇒ a . b= 64

问题 6. 大小为 20 和 5 单位的两个向量之间的夹角为 60 度。找到他们的点积。

解决方案：

Given: |a| = 20 units, |b| = 5 units and θ = 60°

We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ

= 20 . (5) . cos(60°)

= 20 . (5) . (1/2)

⇒ a . b= 50

问题 7. 大小为 30 和 5 个单位的两个向量之间的夹角为 60 度。找到他们的点积。

解决方案：

Given: |a| = 30 units, |b| = 5 units and θ = 60°

We know, dot product of two vectors = |a||b|cosθ

= 30 . (5) . cos(60°)

= 15. (5) . 

⇒ a . b= 75