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📜  DAA二进制堆排序

📅  最后修改于: 2020-12-10 03:57:27             🧑  作者: Mango

堆排序

二进制堆：

Binary Heap是一个数组对象，可以视为Complete Binary Tree。二叉树的每个节点对应于数组中的一个元素。

  • 长度[A]，数组中的元素数
  • Heap-Size [A]，数组A中存储的堆中的元素数。

树A [1]的根，给出节点的索引“ i”，可以计算其父节点，左子节点和右子节点的索引。

PARENT (i)
    Return floor (i/2)
LEFT (i)
    Return 2i
RIGHT (i)
    Return 2i+1

上图的数组表示如下：

索引20为1

为了找到左孩子的索引，我们计算1 * 2 = 2

这使我们(正确地)到达了14。

现在，我们往右走，所以我们计算2 * 2 + 1 = 5

这将我们(正确地)带到了6。

现在，4的索引是7，我们想转到父级，所以我们计算7/2 = 3，这使我们到了17。

堆性质：

二进制堆可以分为最大堆或最小堆

1.最大堆：在二进制堆中，对于除根节点之外的每个节点I，该节点的值都大于或等于其最高子节点的值

A [PARENT (i) ≥A[i]

因此，堆中的最高元素存储在根目录中。以下是MAX-HEAP的示例

2. MIN-HEAP：在MIN-HEAP中，节点的值小于或等于其最低子节点的值。

A [PARENT (i) ≤A[i]

堆砌方法：

1.维护堆属性：堆化是用于处理堆数据结构的过程。给它一个数组A，并将I索引到数组中。以A [i]的子节点为根的子树是堆，但是节点A [i]本身可能违反了堆属性，即A [i]

分析：

元素可以向上移动的最大电平为Θ(log n)电平。在每个级别，我们都对O(1)进行简单比较。因此，heapify的总时间为O(log n)。

构建堆：

堆排序算法：

分析：构建最大堆需要O(n)运行时间。堆排序算法调用“ Build Max-Heap”(构建最大堆)，这需要O(n)次时间，而每个(n-1)个调用都将调用Max-heap来修复新堆。我们知道“ Max-Heapify”需要时间O(log n)

堆排序的总运行时间为O(n log n)。

示例：说明阵列上BUILD-MAX-HEAP的操作。

    A = (5, 3, 17, 10, 84, 19, 6, 22, 9)

解决方案：最初：

Heap-Size (A) =9, so first we call MAX-HEAPIFY (A, 4)
And I = 4.5= 4 to 1


After MAX-HEAPIFY (A, 4) and i=4
 L ← 8, r ← 9
 l≤ heap-size[A] and A [l] >A [i]
 8 ≤9 and 22>10
 Then Largest ← 8
 If r≤ heap-size [A] and A [r] > A [largest]
  9≤9 and 9>22
 If largest (8) ≠4
 Then exchange A [4] ←→ A [8]
 MAX-HEAPIFY (A, 8)


After MAX-HEAPIFY (A, 3) and i=3
l← 6, r ← 7
l≤ heap-size[A] and A [l] >A [i]
6≤ 9 and 19>17
Largest ← 6
If r≤ heap-size [A] and A [r] > A [largest]
7≤9 and 6>19
If largest (6) ≠3
Then Exchange A [3] ←→ A [6]
MAX-HEAPIFY (A, 6)


After MAX-HEAPIFY (A, 2) and i=2
l ← 4, r ← 5
l≤ heap-size[A] and A [l] >A [i]
4≤9 and 22>3
Largest ← 4
If r≤ heap-size [A] and A [r] > A [largest]
5≤9 and 84>22
Largest ← 5
If largest (4) ≠2
Then Exchange A [2] ←→ A [5]
MAX-HEAPIFY (A, 5)


After MAX-HEAPIFY (A, 1) and i=1
l ← 2, r ← 3
l≤ heap-size[A] and A [l] >A [i]
2≤9 and 84>5
Largest ← 2
If r≤ heap-size [A] and A [r] > A [largest]
3≤9 and 19<84
If largest (2) ≠1
Then Exchange A [1] ←→ A [2]
MAX-HEAPIFY (A, 2)

优先队列：

与堆一样，优先级队列以两种形式出现：max-priority队列和min-priority队列。

优先级队列是一种数据结构，用于维护元素S的集合，每个元素具有称为键的组合值。最大优先级队列指导以下操作：

INSERT(S，x)：将元素x插入到集合S中，与操作S =S∪[x]成比例。

MAXIMUM(S)返回具有最高键的S元素。

EXTRACT-MAX(S)删除并返回具有最高键的S元素。

INCREASE-KEY(S，x，k)将元素x的键值增加到新值k，该值至少与x的当前键值一样大。

让我们讨论如何实现最大优先级队列的操作。过程HEAP-MAXIMUM考虑θ(1)时间的MAXIMUM操作。

最大堆(A)

1.返回A [1]

过程HEAP-EXTRACT-MAX实现EXTRACT-MAX操作。它类似于Heap-Sort过程的for循环。

过程HEAP-INCREASE-KEY实现了INCREASE-KEY操作。数组中的索引i标识了我们希望增加其键的优先级队列元素。

HEAP-INCREASE-KEY在n元素堆上的运行时间为O(日志n)，因为从第3行中更新的节点到根的跟踪路径的长度为O(log n)。

MAX-HEAP-INSERT过程实现INSERT操作。它以要插入到最大堆A中的新项目的键作为输入。该过程首先通过将键为-∞的新叶计算到树上来扩展最大堆。然后，它调用HEAP-INCREASE-KEY将此新节点的密钥设置为正确的值并维护max-heap属性

在n元素堆上MAX-HEAP-INSERT的运行时间为O(log n)。

示例：说明堆上的HEAP-EXTRACT-MAX的操作

 A= (15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1)

图： HEAP-INCREASE-KEY的操作

无花果(a)

在该图中，索引为“ i”的节点的最大堆阴影很大

无花果(b)

在此图中，此节点的密钥已增加到15。

无花果(c)

在第4-6行的while循环的一次迭代之后，该节点及其父节点交换了密钥，索引i移至父节点。

无花果(d)

经过while循环再迭代一次后，最大堆，最大堆属性A [PARENT(i)≥A(i)]成立，过程终止。

堆删除：

堆删除(A，i)是从堆A中删除节点“ i”中的项的过程，堆HEAP-DELETE的运行时间为O(log n)，n元素最大堆。