数学 |关系的介绍和类型

从集合 A 到 B 的关系或二元关系 R 是 AxB 的子集，可以定义为
aRb ↔ (a,b) € R ↔ R(a,b)。
单个集合 A 上的二元关系 R 被定义为 AxA 的子集。对于基数为 m 和 n 的两个不同的集合 A 和 B，从 A 到 B 的关系 R 的最大基数是 mn。域和范围：
如果有两个集合 A 和 B，并且 A 到 B 的关系是 R(a,b)，则定义域为集合 { a | (a,b) € R for some b in B} 和 Range 定义为集合 {b | (a,b) A} 中某些 a 的 € R。

关系类型：

空关系：如果集合 A 是空集，则集合 A 上的关系 R 称为空关系。
完全关系：如果 AXB，则称集合 A 和 B 上的二元关系 R 是完全关系。
自反关系：如果 (a,a) € R 对每个元素 a € A 成立，则集合 A 上的关系 R 称为自反关系。即如果集合 A = {a,b} 那么 R = {(a,a), ( b,b)} 是自反关系。
非自反关系：如果没有 (a,a) € R 对每个元素都成立 € Aie 如果集合 A = {a,b} 那么 R = {(a,b), (b ,a)} 是非自反关系。
对称关系：如果 (b,a) € R 在 (a,b) € Rie 时成立，则集合 A 上的关系 R 称为对称关系 R={(4,5),(5,4),(6, 5),(5,6)} 在集合 A={4,5,6} 上是对称的。
反对称关系：集合 A 上的关系 R 称为反对称，如果 (a,b)€ R 和 (b,a) € R 那么 a = b 称为反对称。即关系 R = {(a,b)→ R |a ≤ b} 是反对称的，因为 a ≤ b 和 b ≤ a 意味着 a = b。
传递关系：如果 (a,b) € R 和 (b,c) € R 那么 (a,c) € R 对所有 a,b,c € Aie Relation R={ (1,2),(2,3),(1,3)} 在集合 A={1,2,3} 上是可传递的。
等价关系：如果一个关系是自反的、对称的和可传递的，那么它就是一个等价关系。即关系 R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1, 3),(3,1)} 在集合 A={1,2,3} 上是等价关系，因为它是自反的、对称的和可传递的。
非对称关系：非对称关系与对称关系相反。如果没有 (b,a) € R 当 (a,b) € R 时，集合 A 上的关系 R 称为非对称关系。
要点：
1.对称关系和反对称关系不是对立的，因为关系 R 可以包含也可以不包含这两种属性。
2.一个关系是非对称的当且仅当它既是反对称的又是非自反的。
3. n 个元素的集合到 m 个元素的集合的不同关系数为 2 ^mn
```
Ex: 
     if R ={r1, r2, r3......rn} and S ={s1, s2, s3.....sm} 
     then Cartesian product of R and S is:
      R X S = {(r1, s1), (r1, s2), (r1, s3)........., (r1, sn), 
               (r2, s1), (r2, s2), (r2, s3).........., (r2, sn),
                ................. 
               (rn, s1),(rn, s2), (rn, s3),........., (rn, sn)}
This set of ordered pairs contains mn pairs. 
Now these pairs can be present in R X S or can be absent. 
So total number of possible relation = 2mn
```
4. 具有 n 个元素的集合上的自反关系数：2 ^n(n-1) 。

关系具有有序对 (a,b)。现在可以通过 n 种方式选择 a，b 也是如此。所以一组有序对包含 n ²对。现在对于自反关系，(a,a) 必须存在于这些有序对中。并且总共会有 n 对 (a,a)，因此有序对的数量将为 n ² -n 对。所以自反关系的总数等于 2 ^n(n-1) 。

5. 具有 n 个元素的集合上的对称关系数：2 ^n(n+1)/2 。

关系具有有序对 (a,b)。现在对于对称关系，如果 (a,b) 存在于 R 中，那么 (b,a) 必须存在于 R 中。
在矩阵形式中，如果₁₂存在于关系中，那么₂₁也存在于关系中，正如我们所知，自反关系是对称关系的一部分。
因此，从总共 n ²对中，只有 n(n+1)/2 对将被选择用于对称关系。所以对称关系的总数将是 2 ^n(n+1)/2 。

6. 具有 n 个元素的集合上的反对称关系数：2 ⁿ 3 ^n(n-1)/2 。

关系具有有序对 (a,b)。对于反对称关系，如果 (a,b) 和 (b,a) 存在于关系 R 中，则 a = b。(这意味着对于任何 a，a 都与自身相关)。
所以对于 (a,a)，有序对的总数 = n 和关系的总数 = 2 ⁿ 。

如果 (a,b) 和 (b,a) 都不存在于关系中，或者 (a,b) 或 (b,a) 不存在于关系中。所以有三种可能性，这种情况下有序对的总数是 n(n-1)/2。 (选择一对与不重复从 n 中选择两个数字相同)因为我们必须找到 a ≠ b 的有序对的数量。它就像对称关系的相反意味着有序对的总数 = (n ² ) – 对称有序对(n(n+1)/2) = n(n-1)/2。因此，关系总数为 3 ^n(n-1)/2 。所以反对称关系的总数是 2 ⁿ .3 ^n(n-1)/2 。

7. 具有 n 个元素的集合上的非对称关系数：3 ^n(n-1)/2 。

在非对称关系中，元素 a 不能与自身相关。 (即没有 aRa ∀ a∈A 关系。)然后它与反对称关系相同。(即你有三个选择对 (a,b) (b,a))。因此可能有 3 ^{n(n-1)/2 个}不对称关系。

8. 具有 n 个元素的集合上的非自反关系： 2 ^n(n-1) 。

关系具有有序对 (a,b)。对于非自反关系，没有 (a,a) 对 R 中的每个元素 a 成立。它也与自反关系相反。
现在对于非自反关系，(a,a) 不能出现在这些有序对中意味着总共 n 对 (a,a) 不存在于 R 中，因此有序对的数量将为 n ² -n 对。
所以自反关系的总数等于 2 ^n(n-1) 。

9. 具有 n 个元素的集合上的自反和对称关系： 2 ^n(n-1)/2 。

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