特殊解决方案

(a)齐次线性差分方程和特解：

通过将初始条件的值放入齐次解中，可以找到差分方程为齐次线性型时的特殊解。

示例1：求解差分方程2a _r -5a _r-1 + 2a _r-2 = 0，并找到特定的解，使得₀ = 0和a ₁ = 1。

解决方案：特征方程为2s ² -5s + 2 = 0
(2s-1)(s-2)= 0
s = 和2。

因此，方程的齐次解为

a _r(h) = C ₁ + C ₂ .2 ^r ……….方程(i)

将r = 0和r = 1放在等式(i)中，我们得到
a ₀ = C ₁ + C ₂ = 0 ………..方程(a)
₁ = C ₁ + 2C ₂ = 1 ………….方程。(b)

求解方程(a)和(b)，我们有
C ₁ =- 和C ₂ =

因此，特定的解决方案是
<="" alt="特殊解决方案" p="" src="https://static.javatpoint.com/tutorial/dms/images/particular-solution5.png">

示例2：求解差分方程a _r -4a _r-1 + 4a _r-2 = 0并找到特定的解，使得₀ = 0和₁ = 6。

解决方案：特征方程为
s ² -4s + 4 = 0或(s-2) ² = 0 s = 2，2

因此，方程的齐次解为
a _r(n) =(C ₁ + C ₂ r).2 ^r …………..等式(i)

将r = 0和r = 1放在等式(i)中，我们得到
₀ =(C ₁ + 0)0.2 ⁰ = _1∴C1 = 1
₁ =(C ₁ + C _2)0.2 = _6∴C1 + C _{2 =3⇒C2} = 2

因此，特定的解决方案是
a _r(P) =(1 + 2r).2 ^r 。

示例3：求解满足条件a ₀ = 0和a ₁ = 2的差分方程9a _r -6a _r-1 + a _{r-2 = 0。}

解决方案：特征方程为

因此，方程的齐次解为
a _r(h) =(C ₁ + C ₂ r)。 ………方程(i)

将r = 0和r = 1放在等式(i)中，我们得到
₀ = C_1 = 0
a ₁ =(C ₁ + C ₂ )。 = 2。 _∴C1 + C _{2 =6⇒C2} = 6

因此，特定的解决方案是
_r(P) = 6r。 。

(b)非齐次线性差分方程和特解：

有两种方法可以找到非齐次线性差分方程的特定解。这些如下：

• 不确定系数法
• E和∆运算符方法。

1.不确定系数法：该方法用于查找非齐次线性差分方程的特定解，其RHS项R(n)由特殊形式的项组成。

在这种方法中，首先，我们根据包含一些未知常数的R(n)的类型，假定特定解的一般形式，必须确定这些常数。然后根据差分方程，我们将确定精确解。

表中显示了为特定形式的R(n)假定的特定解的一般形式，以找到确切的解。

例1：找到差分方程a _{r + 2} -3a _{r + 1} + 2a _r = Z ^r ……..方程(i)的特定解

Z是一些常数。

解：解的一般形式是= A. Z ^r

现在将这个解决方案放在等式(i)的LHS上，我们得到
= AZ ^{r + 2} -3AZ ^{r + 1} + 2AZ ^r =(Z ² -3Z + 2)AZ ^r ………方程(ii)

将等式(ii)与等式(i)的RHS相等，我们得到
(Z ² -3Z + 2)A = 1
A = (Z≠1，Z≠2)

因此，特定的解决方案是

例2：找到差分方程a _{r + 2} -5a _{r + 1} + 6a _r = 5 ^r的特定解………….方程(i)

解：让我们假设解的一般形式为A. 5 ^r 。

现在找到A的值，将此解放在等式(i)的LHS上，则变为
=A。5 ^{r + 2 -5.A5 r + 1} + 6.A5 ^r
= 25A。 5 ^r -25A.5 ^r + 6A.5 ^r
= 6A.5 ^r …………方程(ii)

将公式(ii)等同于公式(i)的RHS，我们得到
a ><=""

因此，差分方程的特定解为= 0.5^河

例3：求出差分方程a _{r + 2} + a _{r + 1} + a _r = r.2 ^r ………方程(i)的特定解

解：让我们假设解的一般形式=(A ₀ + A ₁ r)。 2 ^ r

现在，将这些解放在等式(i)的LHS中，我们得到
= 2 ^{r + 2} [A ₀ + A ₁ (r + 2)] + 2 ^{r + 1} [A ₀ + A ₁ (r + 1)] + 2 ^r (A ₀ + A ₁ r)
= 4. 2 ^r (A ₀ + A ₁ r + 2A ₁ )+2.2 ^r (A ₀ + A ₁ r + A ₁ )+2 ^r (A ₀ + A ₁ r)
= r。 2 ^r (7A ₁ )+2 ^r (7A ₀ + 10A ₁ )…………(ii)

将等式(ii)与等式(i)的RHS相等，我们得到
7A ₁ = 1∴A ₁ =
7A ₀ + 10A ₁ = 0∴A ₀ =

因此，特定的解决方案是

2. E和∆运算符方法：

运算符E的定义： f(x)上E的运算符表示给函数x的值增加一个值。 E的运算是将(x + h)放在函数的任何x位置。这里，h是增量量。所以Ef(x)= f(x + h)

此处，E在f(x)上进行运算，因此，E是称为移位运算符的符号。

运算符∆的定义：运算∆是两步运算。

首先，在函数x由恒定递增，然后前被从后面即减去
δf(x)= +="" f(x="" h)-f(x)<="" p="">

定理1：证明E≅1+ ∆。

证明： Δ在f(x)上的运算分为两个步骤。首先，在函数增加x的值。因此，只要在f(x)中存在x，就将x + h(这里h是恒定增量)放进去，这意味着E在f(x)上的运算，即，
f(x + h)= Ef(x)。

第二，从第一步获得的值中减去原始函数，因此
δf(x)= ef(x)-1f(x)="(E-1)f(x)

因此，∆在f(x)上的运算等效于(E-1)在f(x)上的运算。

因此，我们有
e≅1+ p="" ∆。<="">

定理2：证明E ⁿ f(x)= f(x + nh)。

证明：我们知道E f(x)= f(x + h)

现在E ⁿ f(x)= EEEE …….. n次f(x)
= E ^n-1 [E f(x)] = E ^n-1 f(x + h)
= E ^n-2 [E f(x + h)] = E ^n-2 f(x + 2h)
………………….
………………….
＝ Ef [x +(n-1)h] ＝ f(x + nh)。

定理3：证明E Cf(x)= CE f(x)

证明：我们知道EC f(x)= C f(x + h)= CE f(x + h)。因此证明。

E的运算对任何常数都没有影响。因此，E对任何常数的运算将等于常数本身。

通过E和∆运算符方法，我们将找到
C ₀ y _{n + r} + C ₁ y _{n + r-1} + C ₂ y _{n + r-2} +⋯+ C _n y _n = R(n)……..等式(i)

等式(i)可以写成
C ₀ E ^r y _n + C ₁ E ^r-1 y _n + C ₂ E ^r-2 y _n +⋯+ C _n y _n = R(n)
(C ₀ E ^r + C ₁ E ^r-1 + C ₂ E ^r-2 +⋯+ C _n )y _n = R(n)
将C ₀ E ^r + C ₁ E ^r-1 + C ₂ E ^r-2 +⋯+ C _n = P(E)

所以P(E)y _n = R(n)
y y _n = …….方程式(ii)

为了找到不同形式的R(n)的(ii)特定解，我们有以下几种情况。

情况1：当R(n)为常数A时。

我们知道，E在任何常数上的运算将等于常数本身，即
EA = A
因此，P(E)A =(C ₀ E ^r + C ₁ E ^r-1 + C ₂ E ^r-2 +⋯+ C _n )A
=(C ₀ + C ₁ + C ₂ +⋯+ C _n )A
= P(1)A

因此，使用等式(ii)，(i)的特定解为
y _n = ，P(1)≠0

通过将E = 1放在P(E)中来获得P(1)。

情况2：当R(n)的形式为A. Z ^n时，其中A和Z为常数

我们有P(E)(A. Z ⁿ )= {C ₀ E ^r + C ₁ E ^r-1 +⋯+ C _n }(AZ ⁿ )
= A {C ₀ Z ^{r + n} + C ₁ Z ^{r + n-1} +⋯+ C _n Z ⁿ }
＝ A {C ₀ Z ^r + C ₁ Z ^r-1 +⋯+ C _n }。 Z ^N
= AP(Z).Z ⁿ

要获得，P(Z)将E = Z放入P(E)

因此， ，前提是P(Z)≠0

因此，y _n = ，P(Z)≠0

如果A = 1，则y _n =

当P(Z)= 0时，则为等式

(i)(EZ)y _n = A.Z ⁿ

为此，特定的解决方案变为A。 Z ⁿ ＝ A。 n Z ⁿ -1

(ii)(EZ) ² y _n = A.Z ⁿ

为此，特定的解决方案成为

(iii)(EZ) ³ y _n = A.Z ⁿ

为此，特定的解决方案成为等等。

情况3：当R(n)是次数为m的多项式时，n为n。

我们知道E≅1+ ∆
因此，p(e)= +="" p="" p(1="" ∆)<="">

可以将∆的上升能力扩展到∆ ^m

⇒ =(B ₀ + B _1Δ+ B ₂ +Δ⋯。+ B ^_MΔM +⋯)
⇒ .R(N)=(B ₀ + B _1Δ+ B ₂ +Δ⋯。+ B ^_MΔM +⋯).R(n)的
= b _{0 R(n)+ b 1 ∆ R(n)+⋯+ b m ∆ ^m R(n)}

所有其他较高项将为零，因为R(n)是次数为m的多项式。

因此，在这种情况下，方程式(i)的特定解为

y _n = b ₀ R(n)+ b ₁ ∆ R(n)+⋯。+ b _m ∆ ^m R(n)。

情况4：当R(n)的形式为R(n).Z ^n时，其中R(n)是次数为m的多项式，Z为某个常数

我们有E ^r [Z ⁿ R(n)] = Z ^{r + n} R(n + r)= Z ^r .Z ⁿ .E ^r .R(n)= Z ⁿ (ZE) ^r R(n)

同样，我们有
[Z ⁿ R(n)] = Z ⁿ 。(R(n))= Z ⁿ [P(Z + Z∆)] ^-1 .R(n)

因此，在这种情况下，方程式(i)的特定解为
y _n = Z ⁿ [P(Z + Z∆)] ^-1 .R(n)

示例1：找到差分方程的特定解
2a _{r + 1} -a _r = 12。

解决方案：上面的等式可以写成
(2E-1)a _r = 12

具体解决方案由
_r = .12

将E = 1放在等式中。特定的解决方案是_r = 12

示例2：找到差分方程a _r -4a _r-1 + 4a _r-2 = 2 ^r的特定解。

解决方案：上面的等式可以写成
(E ² -4E + 4)a _r = 2 ^r

因此，P(E)= E ² -4E + 4 =(E-2) ²

因此，特定的解决方案由