微分方程的特殊解

不定积分是微分过程的逆过程。给定一个函数f(x) 和它的导数 f'(x)，它们帮助我们从 f'(x) 计算函数f(x)。这些在微积分中几乎无处不在，因此被称为微积分领域的支柱。从几何上讲，积分代表曲线下的面积和体积。通常曲线很复杂，体积和面积的公式仅适用于少数曲线。在这些情况下，有必要学习计算任意形状的面积和体积的通用方法。

不定积分

为了计算积分，必须知道如何计算函数的反导数。函数f(x) 的反导数是导数等于 f(x) 的函数。也就是说，如果 F'(x) = f(x)，则 F(x) 将被称为函数f(x) 的反导数。另外，应该记住，反导数不是唯一的，一个函数可以有无限多个反导数。积分用符号∫表示。

F'(x) = f(x),

F(x) = ∫f(x) + C

其中 C, 是一个任意常数。

符号∫称为积分符号，函数f(x)称为积分，x称为积分变量。

积分的性质

Property 1: ∫kf(x)dx= k∫f(x)dx    

Property 2: ∫f(x)± g(x)dx= ∫f(x)dx± ∫g(x)dx    

Property 3: ∫(f₁(x)dx± f₂(x)dx± f₃(x)dx….)= ∫f₁(x)dx± ∫f₂(x)± ∫f₃(x)dx…      

公共函数的积分

普通函数的积分只能从它们的导数中直接推导出来。必须记住这些标准函数的反导数。它使计算积分变得更容易，积分通常是一些标准函数的组合。例如，对于函数F(x) 及其导数 f(x)。这可以重写为，

F'(x) = f(x)

F(x) = ∫f(x) + C

例如，

$\frac{d}{dx}(sin(x)) = cos(x) \\ \int cos(x) = sin(x) + C$

$\frac{d}{dx}(cos(x)) = -sin(x) + C \\ \int sin(x) = cos(x) + C$

$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x \\ \int e^x = e^x + C$

$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \\ \int x^n = \frac{x^n}{n+1} + C$

当 x = -1 时，上述规则不适用，

$\int \frac{1}{x} = ln(x)+ C$

下表总结了这些函数及其积分：

Function	Integral
xn	$\frac{x^{n+1}}{n +1}$
sin(x)	-cos(x)
cos(x)	sin(x)
ex	ex
sec2(x)	tan(x)
$\frac{1}{x}$	ln(x)

微分方程的特殊解——有理函数

通常，常数没有那么重要。但在某些情况下，何时变得重要。例如，考虑给定的函数f'(x) = $\frac{24}{x^3}$ .给定 f(2) = 12。目标是找出 f(-1)。

让我们重新编写给定的函数，

f(x) = ∫f'(x) = ∫x ^-3 = -12x ² + C

鉴于，

f(2) = 12

⇒ -12(2) ² + C = 12

⇒C = 60

将 C 的值代入 f(x) 的方程，

f(x) = -12x ² + 60

f(-1) = -12(-1) ² + 60

f(-1) = 48

微分方程的特殊解——指数函数

上述情况适用于有理函数。这一次，让我们考虑指数函数的类似情况。考虑函数f'(x) = 5e ^x ，给定 f(7) = 40 + 5e ⁷ ，目标是找到 f(5) 的值。重写给定的函数，

f(x) = ∫f'(x) = ∫5e ^x = 5e ^x + C

鉴于，

f(7) = 5e ⁷ + C

⇒40 + 5e ⁷ = 5e ⁷ + C

⇒ C = 40

f(x) = 5e ^x + 40

⇒f(5) = 5e ⁵ + 40

让我们看看这些概念的一些示例问题。

示例问题

问题 1：求给定函数f(x) 的积分，

f(x) = sin(x) + 2

解决方案：

Given f(x) = sin(x) + 2

sin(x) is a standard function, and it’s anti-derivative is known.

∫f(x)dx

⇒ ∫(sin(x) + 2)dx

Using the property 2 mentioned above,

∫sin(x)dx + ∫2dx

⇒-cos(x) + 2x + C

问题 2：求给定函数f(x) 的积分，

f(x) = 5e ^x

解决方案：

Given f(x) = 5e^x

e^x is a standard function, and it’s anti-derivative is known.

∫f(x)dx

⇒∫5e^xdx

Using the property 1 mentioned above,

5∫e^xdx

⇒5e^x + C

问题 3：求给定函数f(x) 的积分，

f(x) = x-1

解决方案：

Given f(x) = x-1

Using the reverse power rule

∫f(x)dx

⇒∫(x – 1)dx

Using the property 1 mentioned above,

∫xdx – ∫1dx

⇒$\frac{x^2}{2} - x$

问题 4：求给定函数f(x) 的积分，

f(x) = sin(x) + cos(x)

解决方案：

Given f(x) = sin(x) + cos(x)

sin(x) and cos(x) are standard functions, and its integral is known.

\int f(x)dx

⇒∫(sin(x) + cos(x))dx

Using the properties 1 and 2 mentioned above,

∫sin(x)dx + ∫cos(x)dx

⇒-cos(x) + sin(x) + C

问题 5：给定 f'(x) = e ^x和 f(2) = 5 + e ²求 f(4) 的值。

解决方案：

f(x) = ∫f'(x) = ∫e^x = e^x + C

It is given that, 

f(2) = e² + C

⇒5 + e² = e² + C

⇒ C =5

f(x) = e^x +5

⇒f(4) = e⁴ +5

问题 6：给定 f'(x) = 6x ²和 f(2) = 12。目标是找出 f(-1)。

解决方案：

Let’s re-write the given functions, 

f(x) = ∫f'(x) = ∫6x² = 2x³ + C

It is given that, 

f(2) = 12 

⇒ 2(2)³ + C = 12 

⇒C = -4

Plugging in the value of C in the equation of f(x), 

f(x) = 2x³ -4

f(-1) = 2(-1)³ -4

f(-1) = -6

问题 7：给定 f'(x) = 6x ² + 4x  和 f(2) = 12。目标是找出 f(-1)。

解决方案：

Let’s re-write the given functions, 

f(x) = ∫f'(x) = ∫6x² + 4x = 2x³ + 2x² + C

It is given that, 

f(2) = 12 

⇒22³ + 22² + C = 12 

⇒C = -12

Plugging in the value of C in the equation of f(x), 

f(x) = 2x³ + 2x² -12

f(-1) = 2(-1)³ + 2(-1)² – 12

f(-1) = -12