常数系数的线性递推关系

如果递归关系的次数为1，则称为线性关系。

具有常数系数的线性递归关系的一般形式为

C ₀ y _{n + r} + C ₁ y _{n + r-1} + C ₂ y _{n + r-2} +⋯+ C _r y _n = R(n)

其中C ₀ ，C ₁ ，C ₂ …… C _n为常数，R(n)为自变量n的相同函数。

满足给定方程的任何函数递归关系的解。

具有常数系数的线性齐次递归关系：

当且仅当R(n)= 0且该方程的阶数为n时，该方程才被称为线性齐次差分方程。

如果R(n)≠0，则该方程称为线性非齐次差分方程。

示例1：方程a _{r + 3} + 6a _{r + 2} + 12a _{r + 1} + 8a _r = 0是3阶线性非齐次方程。

示例2：方程a _{r + 2} -4a _{r + 1} + 4a _r = 3r + 2 ^r是2阶线性非齐次方程。

具有常数系数的线性齐次差分方程为

C ₀ y _n + C ₁ y _n-1 + C ₂ y _n-2 +⋯…… + C _r y _nr = 0 …….等式(i)

其中C ₀ ，C ₁ ，C ₂ ……C _n为常数。

方程(i)的解的形式为 ，其中∝ ₁是特征根，A是常数。

^{将A ∝ K}的值代入公式(1)中的y _n

C ₀ A∝ ^K + C ₁ A∝ ^K-1 + C ₂ A∝ ^K-2 +⋯…. + C _r A∝ ^Kr = 0 …….方程(ii)

简化方程式(ii)之后，我们得到

C ₀ ^r + C ₁ ^r-1 + C ₂ ^r-2 + C _r = 0 ………方程(iii)

式(iii)被称为差分式的特征式。

如果∝ ₁是特征方程的根之一，则是差分方程的齐次解。

为了找到线性齐次差分方程的解，我们讨论了以下四种情况：

情况1：如果特征方程具有n个不同的实根_{∝ 1} ，∝ ₂ ，∝ ₃ ，………. _n 。

从而， 是方程式(i)的所有解。

还有，我们有是方程式(i)的所有解。解决方案的总和也是解决方案。

因此，差分方程的齐次解为

情况2：如果特征方程式具有重复的实根。

如果∝ ₁ = ∝ ₂ ，则(A ₁ + A ₂ K) 也是解决方案。

如果∝ ₁ = ∝ ₂ = ∝ ₃则(A ₁ + A ₂ K + A ₃ K ² ) 也是解决方案。

同样，如果根root ₁重复n次，则。

(A ₁ + A ₂ K + A ₃ K ² + …… + A _n K _n-1 )

齐次方程的解。

情况3：如果特征方程具有一个假想根。

如果α+iβ是特征方程的根，则α-iβ也是根，其中α和β是实数。

因此，(α+iβ) ^K和(α-iβ) ^K是方程式的解。这意味着

(α+iβ) ^K A ₁ +α-iβ) ^K A ₂

也是特征方程的解，其中A ₁和A ₂是要确定的常数。

情况4：如果特征方程具有重复的虚根。

当特征方程具有重复的假想根时，

(C ₁ + C ₂ k)(α+iβ) ^K +(C ₃ + C ₄ K)(α-iβ) ^K

是齐次方程的解。

示例1：求解差分方程a _{r-3a r-1 + 2a r-2 = 0。}

解：特征方程由下式给出：

因此，方程的齐次解为

示例2：求解差分方程9y _{K + 2} -6y _{K + 1} + y _K = 0。

解决方案：特征方程为

因此，方程的齐次解为
y _K ＝(C ₁ + C ₂ k)。

示例3：求解差分方程y _K -y _K-1 -y _K-2 = 0。

解：特征方程为s ² -s-1 = 0
s =

因此，方程的齐次解为

示例4：求解差分方程y _{K + 4} + 4y _{K + 3} + 8y _{K + 2} + 8y _{K + 1} + 4y _K = 0。

解决方案：特征方程为s ⁴ + 4s ³ + 8s ² + 8s + 4 = 0
(s ² + 2s + 2)(s ² + 2s + 2)= 0
s = -1±i，-1±i

因此，方程的齐次解为

y _K =(C ₁ + C ₂ K)(-1 + i) ^K +(C ₃ + C ₄ K)(-1-i) ^K