资质 | GATE CS 1998 | 问题13

本题是针对计算机科学领域的GATE CS（国际研究生入学考试）1998年真题中的问题13。该题主要考察了计算机科学领域中的图论知识，包括最短路径算法、图的连通性等。

问题描述

给定一个有向加权图G，假设所有边的权值都是非负值。设计一个算法，用于找到从源节点s到所有其他节点的最短路径，并且要保证对于图中的每个节点v，其到源节点s的路径最多只包括一个中间节点。

算法思路

首先，我们可以采用Dijkstra的算法来找到源节点s到所有其他节点的单源最短路径。当我们遍历过程中发现一个节点v的最短路径已经被更新，我们需要检查以v为终点的边是否会导致其他节点u重新到达v这个节点，如果这样会出现v到s的路径中包含两个中间节点，那么就需要舍弃这条边的加入。

基于这种思路，我们可以得到以下的算法流程：

1. 初始化所有节点到s的距离为正无穷，到s的距离为0。
2. 将节点s加入“已访问”集合中。
3. 对于s能够到达的所有节点v，如果s到v的距离小于当前已知的距离，那么更新v的最短距离。
4. 在未访问的节点中找到距离s最近的节点v，将其加入“已访问”集合中。
5. 对于v能够到达的所有节点u，如果v到u的距离小于当前已知的距离，那么更新u的最短距离。
6. 重复步骤4和5，知道所有的节点都被加入到“已访问”集合中。

在第5步时，我们需要判断如果更新了节点u的最短距离会不会破坏要求，如果破坏了要求，那么我们需要将u的最短距离设为正无穷。

以下是Java实现该算法的代码片段：

while (!unvisitedNodes.isEmpty()) {
  Node v = getClosestNode(unvisitedNodes, distances);
  visitedNodes.add(v);

  for (Edge e : v.edges) {
    Node u = e.destination;

    if (visitedNodes.contains(u)) continue;

    int altDistance = distances.get(v) + e.weight;

    if (altDistance < distances.get(u)) {
      if (introducesLoop(v, u, visitedNodes)) {
        distances.put(u, Integer.MAX_VALUE);
      } else {
        distances.put(u, altDistance);
      }
    }
  }
}

private boolean introducesLoop(Node v, Node u, Set<Node> visitedNodes) {
  visitedNodes.add(u);

  for (Edge e : u.edges) {
    Node w = e.destination;

    if (w == v) {
      return true;
    } else if (visitedNodes.contains(w)) {
      continue;
    } else if (introducesLoop(v, w, visitedNodes)) {
      return true;
    }
  }

  visitedNodes.remove(u);
  return false;
}

private Node getClosestNode(Set<Node> nodes, Map<Node, Integer> distances) {
  Node closest = null;

  for (Node node : nodes) {
    if (closest == null || distances.get(node) < distances.get(closest)) {
      closest = node;
    }
  }

  return closest;
}

总结

本题考察了图论知识中关于最短路径算法和图的连通性的相关内容。我们可以采用Dijkstra算法来找到单源最短路径，并且通过检查路径中是否有中间节点来保证每个点只包含一个中间节点。在实现过程中，需要注意对于已经访问过的节点的处理和如何检查路径中是否有中间节点的问题。