资质 | GATE CS 1998 | 问题7

这是一道GATE CS 1998年的测试题，涉及了计算机科学中的搜索算法和图遍历。以下是问题描述：

给定一张无向图，每条边都有相应的权重，且权重均为正整数。现在，请你定义一个函数 find_shortest_path(u,v)，该函数可以计算出图上从顶点u到顶点v的最短路径，并返回该路径的长度。

请你写出这个函数的实现方法，并分析它的时间复杂度。

实现方法

这道问题可以使用Dijkstra算法来解决。

Dijkstra算法的基本思路是，从起始点开始，维护一个集合S，表示已经找到了起始点到这些点的最短路径。初始时，集合S只包含起始点。然后，每次从集合V-S中找到距离起始点最近的一个点，将其加入集合S中，并更新所有与该点有连边的点的距离。

这里我们可以使用优先队列来实现集合V-S的维护。

具体的实现代码：

def find_shortest_path(u, v):
    n = len(graph) # 图的节点数
    pq = [] # 优先队列，用于维护集合V-S
    heapq.heappush(pq, (0, u)) # 将起始点加入优先队列
    dist = [float('inf')] * n # 初始化起始点到所有点的距离
    dist[u] = 0 # 起始点到自己的距离为0
    while pq:
        _, node = heapq.heappop(pq) # 取出距离起始点最近的一个点
        if node == v: # 如果当前点就是目标点
            return dist[v] # 直接返回答案
        for neighbor, weight in graph[node]: # 遍历当前点的所有邻居
            if dist[node] + weight < dist[neighbor]: # 如果新路径更短
                dist[neighbor] = dist[node] + weight # 更新距离
                heapq.heappush(pq, (dist[neighbor], neighbor)) # 将邻居加入队列
    return -1 # 如果无法到达目标点，返回-1

在上面的代码中，graph表示输入的图，即一个邻接表。其中，graph[i]表示节点i的所有邻居。

时间复杂度分析

对于每个点，我们需要遍历它的所有邻居，因此时间复杂度为O(mlogn)，其中n是节点数，m是边数。这是因为优先队列的插入和弹出操作都是O(logn)的。