资质 | GATE CS 1998 | 问题8

该题目是GATE CS 1998考试中的一个问题，考查了计算机科学领域的数据结构和算法。

问题描述

给定一组数字（1，2，…，n），现在将它们按照某个排列顺序排列。例如，给定的数字是(3, 5, 2, 1, 4)，它们的一个排列顺序可以是(5, 3, 1, 4, 2)。现在，根据这个排列创建一棵二叉树。如果一个数字在原始数字序列中的索引更靠近其父节点所代表的数字的索引，则它是该节点的左儿子。反之，则为右儿子。例如，节点2在节点5的左边，因为2在原始数字序列中的索引小于5在原始数字序列中的索引。

例如，对于给定数字(3, 5, 2, 1, 4)和排列(5, 3, 1, 4, 2)，将创建如下的二叉树：

        5
       / \
      3   2
     /     \
    1       4

现在的问题是：给定这个二叉树，为每个节点计算它的兄弟节点（如果存在兄弟节点，则为输出兄弟节点的值，否则输出-1）。兄弟节点是指在相同深度上，并且有相同父节点的节点。

例如，在上面的二叉树中，节点1和节点4是有兄弟节点的，它们的兄弟节点的值分别为3和2。节点3和节点2也是有兄弟节点的，它们的兄弟节点的值分别为1和4。节点5没有兄弟节点。

算法实现

解题思路：深度优先搜索。使用一个siblings数组来记录每个节点的兄弟节点。遍历二叉树的过程中，对于每个节点，记录其父节点和深度（纵向坐标）。对于每个节点，它的兄弟节点与它满足以下条件之一：

• 具有相同父节点
• 与该节点深度相同，并且要么在其左侧，要么在其右侧

因此，在遍历过程中，将这些兄弟节点的值存入它们所属节点的siblings数组中。如果没有兄弟节点，则将-1存入siblings数组。

下面给出具体实现的伪代码：

function fillSiblingValues(Node root):
    siblings = new array[n]  // n是节点数，初始为全-1
    dfs(root, nullptr, -1, siblings)

function dfs(Node node, Node parent, int depth, array siblings):
    if node == nullptr:
        return
    if parent != nullptr:
        if siblings[parent.value] == -1:
            siblings[parent.value] = node.value
        else:
            // 该节点的兄弟节点已经被记录下来了，说明它有了两个兄弟
            // 此时覆盖掉原来的值，标记为-2
            siblings[parent.value] = -2
    dfs(node.left, node, depth + 1, siblings)
    dfs(node.right, node, depth + 1, siblings)
    if node.left != nullptr and node.right == nullptr:
        // 该节点有左儿子但没有右儿子，说明它在二叉树的最底层
        // 此时需要考虑它右侧的兄弟节点
        for i = 0 to siblings.size - 1:
            if siblings[i] == depth and i > node.value:
                siblings[node.value] = i
                break
    if node.right != nullptr and node.left == nullptr:
        // 该节点有右儿子但没有左儿子
        // 此时同样需要考虑它左侧的兄弟节点
        for i = 0 to siblings.size - 1:
            if siblings[i] == depth and i < node.value:
                siblings[node.value] = i
                break
    if node.left == nullptr and node.right == nullptr:
        // 该节点没有儿子节点，仅需考虑同级的兄弟节点
        for i = 0 to siblings.size - 1:
            if siblings[i] == depth and i != node.value:
                siblings[node.value] = i
                break

算法分析

时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n)$，其中$n$为节点数。主要耗时在于搜索每个节点的兄弟节点时，需要遍历整个siblings数组。