资质 | GATE CS 1998 | 问题9

该问题是GATE计算机科学考试1998年的一道题目，它涉及到动态规划和递归。

题目描述

给定一个整数数组A和一个整数N，我们定义函数S(i, j)为数组A中下标从i到j的元素之和。请你编写一个程序，找到一个整数K，使得S(i, j)可以被K整除。

示例

假设输入的数组A为[4, 1, 2, 3, 5]，整数N为3。

输出应为：2

解题思路

我们可以使用动态规划和递归来解决这个问题。

首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示数组中下标从i到j的元素之和。

然后，我们通过递归的方式来计算dp[i][j]的值。递归函数可以定义为calc(i, j)，其中i和j为数组下标。递归函数的基本情况是当i == j时，dp[i][j]的值就等于A[i]。

递归函数的递推关系可以定义为：

dp[i][j] = dp[i][j-1] + A[j]

接下来，我们可以使用两个嵌套循环来遍历所有可能的子数组，并找到满足条件的K值。

具体做法是，先遍历所有可能的子数组长度，然后在内层循环中遍历数组的起始下标。我们可以使用变量sum来保存当前子数组的和，然后判断sum是否能够被K整除，如果是，则更新最大的K值。

算法实现

下面是使用Python实现的算法代码片段：

def calc(i, j):
    if i == j:
        return A[i]
    return calc(i, j-1) + A[j]

A = [4, 1, 2, 3, 5]
N = 3
dp = [[0 for _ in range(len(A))] for _ in range(len(A))]
for i in range(len(A)):
    for j in range(i, len(A)):
        dp[i][j] = calc(i, j)

max_K = 0
for l in range(1, len(A)+1):
    for i in range(len(A)-l+1):
        j = i + l - 1
        current_sum = dp[i][j]
        if current_sum % N == 0:
            max_K = max(max_K, current_sum)

print(max_K)

复杂度分析

该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为数组的长度。这是因为我们使用了两层嵌套循环来遍历所有可能的子数组，而在每个子数组中，我们又使用了递归函数来计算子数组的和。由于递归函数的时间复杂度为O(n)，所以整体的时间复杂度为O(n^3)。

总结

通过了解和理解这道GATE CS 1998题目的解题思路和算法实现，我们可以提高对动态规划和递归相关问题的理解和解决能力。在实际的编程工作中，动态规划和递归常常用于解决各种复杂的问题，包括最优化问题、搜索问题等。阅读和分析这类算法题目的解题思路，可以帮助我们加深对这些概念和技巧的理解，提高自己的编程水平。