题目介绍

本题目需要你设计一个函数，计算满足不等式 $x^2+y^2<n$ 的不同非负整数对 $(x,y)$ 的个数。

函数签名

def calc_pairs(n: int) -> int:
    pass

输入参数

• n ：一个整数，表示需要计算的不等式中的 $n$ 的值 $(0 \leq n \leq 10^9)$

输出结果

• 一个整数，表示满足不等式 $x^2+y^2<n$ 的不同非负整数对 $(x,y)$ 的个数。

解题思路

首先，我们可以引入二维坐标系，对于一个不等式 $x^2+y^2<n$，可以表示为所有满足条件的 $(x,y)$ 是平面内的一个圆形区域。

因此，我们可以通过枚举 $x$ 和 $y$ 的值，计算其平方和，判断是否小于 $n$，如果小于 $n$，则计数器加一。

因为 $x$ 和 $y$ 的范围都是从 $0$ 开始到 $\sqrt{n}$，所以计算的时间复杂度为 $O(n)$，可以通过本题。

代码示例

def calc_pairs(n: int) -> int:
    count = 0
    for i in range(int(n ** 0.5) + 1):
        for j in range(int(n ** 0.5) + 1):
            if i * i + j * j < n:
                count += 1
    return count

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$