将N写入K个非负整数之和的方式数

介绍

该问题可以被称为"k元划分"(k-partition)问题，即将一个正整数n表示为k个正整数之和的方案总数。这种问题常出现在组合数学和计算机科学中。

例如：将数值5划分为3个非负整数之和的方案有如下7种：

• 5=0+0+5
• 5=0+1+4
• 5=0+2+3
• 5=1+1+3
• 5=1+2+2
• 5=1+4+0
• 5=2+3+0

解法

k元划分问题可以使用递归的方式来解决。对于将整数n分解为k个非负整数之和的方案总数p(n, k)，我们可以将问题递归地分解为以下两个子问题：

1. 将整数n分解为k-1个非负整数之和的方案总数p(n-k, k-1)
2. 将整数n分解为k个非负整数之和中不包含1的方案总数p(n-k, k)

由此可以得到k元划分问题的递推公式：

p(n, k) = p(n-k, k-1) + p(n-k, k)

其中初始条件为：

p(0, 0) = 1

p(n, 0) = 0 (n >= 1)

p(n, k) = 0 (n < k)

下面是可以用于计算p（N，K）的Python代码：

def k_partition(n, k):
    if n == 0 and k == 0:
        return 1
    elif n < 0 or k == 0 or n < k:
        return 0
    else:
        return k_partition(n-k, k-1) + k_partition(n-k, k)

总结

k元划分问题是一种经典的组合数学问题，在计算机科学中也有广泛的应用。递归是一种解决这类问题的有效方法，并且可以通过动态规划进行优化。