将二叉树的每个节点替换为其对角线中所有节点的总和

介绍

在二叉树中，每个节点都有两个子节点和一个父节点。节点可以代表不同的数据，例如整数、字符串或对象。本文将讨论如何将二叉树中每个节点替换为其对角线中所有节点的总和。

对角线

对于一个二叉树，我们可以将节点按照它们所处的层级分为多个对角线。例如，从根节点开始，第一层节点被称为零级对角线，左右两个子节点分别属于第一级对角线，它们的子节点分别属于第二级对角线，以此类推。

在上图中，我们可以看到二叉树中的多个对角线。对角线 D1 包含 1，对角线 D2 包含 2、3 和 4，对角线 D3 包含 5、6、7 和 8。

总和

对于每个节点，我们需要计算它所在对角线中所有节点的总和。对于上面的示例，节点 1 所在的对角线是 D1，它的总和为 1。节点 2 所在的对角线是 D2，它的总和为 2+4=6。节点 5 所在的对角线是 D3，它的总和为 5+7=12。

方案

我们可以利用深度优先搜索遍历二叉树，并将每个节点的值替换为其所在对角线中所有节点的总和。对于每个节点，我们需要记录它所在的层级和对角线编号。这可以通过递归遍历实现。

代码示例

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right


class Solution:
    def __init__(self):
        self.diagonal_sum = {}

    def diagonal_traverse(self, node, level):
        if not node:
            return

        # 计算对角线编号
        diagonal = level

        # 如果对角线不存在，新建一个
        if diagonal not in self.diagonal_sum:
            self.diagonal_sum[diagonal] = 0

        # 添加当前节点值
        self.diagonal_sum[diagonal] += node.val

        # 递归遍历左子节点
        self.diagonal_traverse(node.left, level + 1)

        # 递归遍历右子节点
        self.diagonal_traverse(node.right, level)

    def diagonal_sum_tree(self, root: TreeNode) -> TreeNode:
        # 计算所有节点的对角线总和
        self.diagonal_traverse(root, 0)

        # 替换节点的值为对角线总和
        self.update_tree(root, 0)

        return root

    def update_tree(self, node, level):
        if not node:
            return

        # 搜索左子树
        self.update_tree(node.left, level + 1)

        # 更新节点的值
        diagonal = level
        node.val = self.diagonal_sum[diagonal]

        # 搜索右子树
        self.update_tree(node.right, level)

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 为二叉树的节点数。在深度优先搜索的过程中，我们需要访问每个节点一次，并计算每个节点所在的对角线中所有节点的总和，这需要 O(n) 的时间。替换每个节点的值需要 O(1) 的时间。

该算法的空间复杂度为 O(n)，其中 n 为二叉树的节点数。我们需要维护一个字典来保存每个对角线的总和，这需要 O(n) 的空间。在深度优先搜索时，我们需要递归调用函数，这可能会导致最多 O(h) 的递归深度，其中 h 为二叉树的高度。在最坏的情况下，当二叉树为一条链时，h = n，因此空间复杂度为 O(n)。