NP硬问题和NP完整问题之间的区别

在计算复杂度理论中，NP（非确定性多项式时间）是指可以在多项式时间内验证解的问题集合，NP问题是寻找这些问题的解的问题。如果可以在多项式时间内解决NP问题，那么P=NP；否则，P≠NP。

NP硬问题

NP硬问题是指在多项式时间内不能求解的问题，但可以用多项式时间的算法将任何一个NP问题约化为该问题。也就是说，NP问题可以被归约为NP硬问题，但NP硬问题不一定是NP问题。这意味着，任何一种用多项式时间解决的NP完整问题都可以通过一个多项式时间约化算法，转化成NP硬问题。

NP硬问题的典型例子是旅行商问题（TSP），即找到一个旅行商经过所有城市的最短路径。在该问题中，任何一个NP问题都可以归约到TSP。因此，TSP是一个NP硬问题。

NP完整问题

NP完整问题是指在多项式时间内验证解的问题集合，并且可以将NP问题约化到该问题上。也就是说，如果能够在多项式时间内解决NP完整问题，那么就可以在多项式时间内解决所有NP问题。因此，NP完整问题是所有NP问题中最困难的。

NP完整问题的典型例子是SAT问题，即命题逻辑可满足性问题，给定一个命题逻辑公式，判断是否存在一组变量使该公式成立。在该问题中，我们可以把任何一个NP问题约化到SAT问题上。因此，SAT问题是一个NP完整问题。

区别

从定义上来说，NP硬问题和NP完整问题都是NP问题的子集。但是它们之间有一个显著的区别：任何一种NP完整问题都可以通过一个多项式时间约化算法，转化成其它NP完整问题。而对于NP硬问题，只有NP问题可以被约化成NP硬问题。

换句话说，NP完整问题是NP问题集合中最难的问题，而NP硬问题则是除NP完整问题以外最难的问题。一般情况下，我们使用NP完整问题作为实际应用中的难点问题，而NP硬问题更多的是作为算法研究的对象。

总结

NP硬问题是一个比NP问题更难的集合，任何一个NP问题都可以归约到NP硬问题上；而NP完整问题是NP问题中最难的问题，所有NP问题都可以归约到NP完整问题上。在实际应用中，我们通常使用NP完整问题作为难度参考。