算法 | NP完成 | 问题2

介绍

在计算机科学中，NP（Non-deterministic Polynomial time）是一个复杂度类，它包含了许多非确定性算法可以在多项式时间内解决的问题。

NP完成问题是指，在NP问题中难以得到一个“好的”解决方案，但是在多项式时间范围内证明有一个最优解决方案的问题。问题2是其中之一，也被称为集合划分问题。

集合划分问题是指给定一个正整数集合，判断是否能将其分成两个和相等的子集。

解决方案

问题2是一个NP完成问题，因此算法的时间复杂度是指数级别的。目前没有已知的多项式时间解决方案。但是，也可以使用一些近似算法来解决这个问题。

近似算法

近似算法是指在多项式时间内得到一个最优解的算法。对于问题2，最基本的近似算法是使用回溯来枚举所有可能的方案，然后寻找一个能够满足条件的方案。这个算法的时间复杂度是指数级别的，因此只适用于较小的数据集。

更高效的近似算法是动态规划法。假设我们有一个大小为N的正整数集合S，我们创建一个大小为NxT的二维数组dp，其中T是S的和的一半。dp[i][j]表示从S的第1个元素到第i个元素中，是否存在一个子集，其和为j。

我们可以用以下递推式来计算dp：

$$ dp[i][j] = dp[i-1][j] ;;;;;;;;;;;;;;;;\ if ;; j < S[i] $$

$$ dp[i][j] = dp[i-1][j] ;;;;;;;;;;;;;;;;\cup ;; dp[i-1][j-S[i]] ;;; ;; otherwise $$

最后，如果存在$dp[N][T] = true$，则集合可以被分成两个和相等的子集。

时间复杂度为$O(N\cdot T)$。

完全背包算法

完全背包算法也可以用来解决集合划分问题。该算法主要用于解决有一个容量限制和未知数量的物品，我们需要填充最大价值的背包。在这种情况下，我们的容量限制是T，然后我们需要将S中的数字填充到背包中，以尽可能接近T的一半。

首先，我们将S中的所有数字复制一遍，形成一个新的S'。然后，我们执行如下代码：

n = len(S')
dp = [0] * (T + 1)
for i in range(n):
    for j in range(T, -1, -1):
        if j >= S'[i]:
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-S'[i]] + S'[i])

return dp[T] == T

如果存在$dp[T] = T$，则集合可以被分成两个和相等的子集。

时间复杂度为$O(N\cdot T)$。

总结

问题2是一个NP完成问题，目前没有已知的多项式时间解决方案。但是，我们可以使用一些近似算法来解决这个问题，如回溯和动态规划。完全背包算法也可以用来解决集合划分问题。我们需要仔细评估不同算法的时间复杂度和准确度，并选择最适合我们应用的算法。