3色问题是NP完整问题

什么是NP完整？

NP（Non-deterministic Polynomial）是问题复杂度理论中的一个类别，NP问题是指可以在多项式时间内验证一个解是否正确的问题。而NP完整问题是指这类问题中最难解决的那个问题。如果能够在多项式时间内找到一种解法，那么就可以在多项式时间内解决所有的NP问题。

3色问题

3色问题是解决有一些地区需要染成不同颜色的问题。比如在地图上标记不同国家或地区，让相邻的地区着不同的颜色。这个问题可以转化为图的着色问题，它是NP完整问题的经典之一。

问题描述

给定一个无向图G，使用最少的颜色给每个顶点染色，使得相邻的顶点颜色不同。

举例说明

假设有如下图：

这个问题的解法为：将1染成红色，将2染成绿色，将3染成蓝色。如下图所示：

NP完整性证明

由于这个问题的解法难以找到，可以通过归约来证明它的NP完整性。这里使用图的着色问题（Graph Coloring）来进行归约。

假设有一个图G=（V，E），要用k种颜色来给它染色，这就是一个图的着色问题的实例。现在要将这个实例归约到3色问题上。

我们可以构造一个新的图G’=（V’，E’）。其中所有原图的顶点都对应着新图的三个顶点，即每个原顶点对应着三个顶点。如果原图中两个顶点有边相连，那么则在新图中对应的三个顶点分别两两相连。如下图所示：

那么，原图的图的着色问题就等价于新图的3色问题。可以证明，如果能够在原图中使用k种颜色给每个顶点染色，那么一定也能在新图中使用3种颜色给每个顶点染色。同样地，如果能够在新图中使用3种颜色给每个顶点染色，那么也一定可以在原图中使用k种颜色给每个顶点染色。

因此，我们可以用多项式时间将图的着色问题归约为3色问题，既然图的着色问题是NP完整问题，那么3色问题也必然是NP完整问题。

结语

3色问题属于复杂度理论中的NP完整问题，这类问题中最难解决的一个问题。虽然其实际应用不多，但却有重要的研究价值。对于程序员来说，了解这类问题有助于提高算法和数据结构的应用水平。