如果在NP中并且与NP中的任何问题一样困难，则属于NPC类。如果NP中的所有问题都可以用多项式时间简化，则问题是NP难的，即使它可能不是NP本身也是如此。

如果针对这些问题中的任何一个存在多项式时间算法，则NP中的所有问题都可以通过多项式时间解决。这些问题称为NP-complete 。 NP完全现象在理论和实践上都很重要。

NP完全性的定义

如果语言B满足两个条件，则它是NP完全语言

• B在NP中

• NP中的每个A都可简化为B的多项式时间。

如果一种语言满足第二个属性，但不一定满足第一个属性，则语言B被称为NP-Hard 。非正式地，如果存在一些图灵化为B的NP完全问题A ，则搜索问题B就是NP-Hard 。

NP-Hard中的问题无法在多项式时间内解决，直到P = NP为止。如果一个问题被证明是NPC，则无需浪费时间尝试为它找到有效的算法。相反，我们可以专注于设计近似算法。

NP完全问题

以下是一些NP-Complete问题，对于这些问题，还没有多项式时间算法是已知的。

• 确定图是否具有哈密顿循环
• 确定布尔公式是否可满足，等等。

NP难问题

NP-Hard存在以下问题

• 电路可满足性问题
• 套装封面
• 顶点覆盖
• 旅行商问题

在这种情况下，现在我们将讨论TSP是否为NP-Complete

TSP是NP完全的

旅行推销员问题包括推销员和一组城市。推销员必须从某个城市开始，然后返回同一城市，参观每个城市。问题的挑战在于，旅行推销员希望尽量减少旅行的总时间

证明

为了证明TSP是NP-Complete ，首先我们必须证明TSP属于NP 。在TSP中，我们找到一个巡视并检查该巡视包含每个顶点一次。然后，计算游览边缘的总费用。最后，我们检查成本是否最低。这可以在多项式时间内完成。因此， TSP属于NP 。

其次，我们必须证明TSP是NP-hard的。为了证明这一点，一种方式是证明哈密顿圈_≤p TSP(因为我们知道，汉密尔顿的周期问题是NP完全)。

假设G =(V，E)是哈密顿循环的一个实例。

因此，构造了TSP的实例。我们创建完整的图G ^‘ =(V，E ^‘ ) ，其中

$$ E ^ {‘} = \ lbrace(i，j)\冒号i，j \ in V \：\：and \：i \ neq j $$

因此，成本函数定义如下：

$$ t(i，j)= \开始{cases} 0＆if \：(i，j)\：\ in E \\ 1＆else \ end {cases} $$

现在，假设G中存在哈密顿循环h 。显然，由于每个边缘都属于E ，因此h在G ^‘中每个边缘的成本为0 。因此， h在G ^‘中的成本为0 。因此，如果图G具有哈密顿周期，则图G ^‘的行程为0 。

相反，我们假设G ^‘的游览h ^‘的成本至多为0 。根据定义， E ^‘中边的成本为0和1 。因此，每个边的成本必须为0，因为h ^‘的成本为0 。因此，我们得出结论， h ^‘仅包含E中的边。

因此，我们证明了，当且仅当G ^‘的成本最高为0时， G才具有哈密顿循环。 TSP是NP完整的。