3色是NP完整

先决条件： NP完成度，图形着色

图K着色问题：无向图的K着色问题是将颜色分配给图的节点，使得没有两个相邻的顶点具有相同的颜色，并且最多使用K种颜色来完成图的着色。

问题陈述：给定一个图G(V，E)和一个整数K = 3，任务是确定该图是否可以使用最多3种颜色着色，以使没有两个相邻的顶点具有相同的颜色。

说明：
问题的一个实例是为问题指定的输入。 3色问题的一个实例是无向图G(V，E) ，任务是检查是否仅使用3种不同颜色为每个顶点V分配了颜色，而每个邻居V的颜色也不同。由于NP-Complete问题是NP和NP-hard都存在的问题，因此证明问题为NP-Complete的陈述的证明包括两部分：

1. The problem itself is in NP class.
2. All other problems in NP class can be polynomial-time reducible to that.(B is polynomial-time reducible to C is denoted as B ≤ P^C)

如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard 。

但是不可能始终将每个NP问题都简化为另一个NP问题以显示其NP完整性。因此，为了显示一个问题是NP完全，然后证明，问题是在NP和任何NP完全问题是还原到即如果B是NP完全和^B≤PC，然后对C在NP，则C是NP-Complete。因此，可以得出以下结论：图K着色问题是NP完全的：

NP中存在3色问题：
如果NP中存在任何问题，则给定证书，该证书是问题的解决方案和问题的实例(图形G(V，E)以及颜色{c ₁ ，c ₂ ，c ₃的分配} ，其中每个顶点都从这三种颜色{c ₁ ，c ₂ ，c ₃ } )中分配了一种颜色，然后可以验证(检查给定的解是否正确)多项式时间内的证书。这可以通过以下方式完成：

For each edge {u, v} in graph G verify that the color c(u) != c(v)

因此，可以检查赋值相对于其边缘O(V + E)的图形多项式时间的正确性。

3色问题是NP-Hard：
为了证明3色问题是NP-Hard问题，请将已知的NP-Hard问题简化为该问题。进行还原，从而可以将3-SAT问题简化为三色问题。让我们假设3-SAT问题的3-SAT公式具有n个由x ₁ ，x ₂ ，…，x _n表示的变量的m个子句。然后可以通过以下方式从公式构造图形：

1. 为每个变量x _i构造一个顶点v _i在图中，一个顶点v _i’表示变量x _i的取反。
2. 对于m中的每个子句c，添加5个对应于值c1，c1，…，c5的顶点。
3. 另外添加了三个不同颜色的顶点，分别表示值True，False和Base(T，F，B)。
4. 在这三个附加顶点T，F，B之间添加边以形成三角形。
5. 在顶点v _i和vi _i’与底数(B)之间添加边以形成三角形。

以下约束对于图G是正确的：

1. 对于每对顶点v _i和v _i’ ，其中一个被分配为TRUE，而另一个被分配为FALSE。
2. 对于m个子句中的每个子句c，至少一个字面量必须具有TRUE值，该值才为true。

因此，可以通过输入节点u，v，w为公式中的子句c =(u V v V w)中的每个子句构造一个小的OR-gadget图，并将gadget的输出节点连接到False和Base特殊节点。

让我们考虑公式f =(u’V v V w’) AND (u V v V w’)

现在，可以通过以下两个命题证明这种减少：
让我们假设3-SAT公式具有令人满意的赋值，那么在每个子句中，至少一个字面量x _i必须为真，因此，可以将对应的v _i赋给TRUE颜色，而将v _i’赋给TRUE颜色。错误的。现在，对此进行扩展，对于每个子句，对应的OR小工具图都可以是3色的。因此，该图可以是3色的。

让我们考虑图G是3色的，因此，如果将顶点vi分配给真色，则将变量x _i相应地分配给真。这将构成合法的事实分配。同样，对于任何子句C _j =(x V y V z) ，也不能都是三个字面量x，y，z均为False。因为在这种情况下，必须将C _j的OR小工具图的输出着色为False。这是一个矛盾，因为输出连接到Base和False。因此，存在对3-SAT子句的满意分配。

结论：因此，三色着色是一个NP完全问题。