题目介绍

该题目为 GATE CS 2021 的设置 2 的第 46 题。该题目是一道算法题，要求我们实现一个程序，对于给定的两个整数 n 和 k，计算出使得 n 变为 1 的最小操作次数，并且每一次操作可以将 n 变为 n+1 或 n-1 或 n 和 k 的乘积。

解题思路

题目中要求我们计算最小操作次数，这提示我们可以采用动态规划的思想来解决问题。我们可以将 n 变为 1 的最小操作次数记为 f(n)，那么问题就转化为了求解 f(n)。

对于输入的 n，我们设计一个状态转移方程，将 f(n) 转移为 f(n+1)，f(n-1) 和 f(n*k)。

具体而言，对于 f(n+1)，我们只需要将 n 变为 n+1 即可，所以有：

$$f(n+1) = f(n) + 1$$

对于 f(n-1)，同理可得：

$$f(n-1) = f(n) + 1$$

对于 f(nk)，我们需要找到一个数 m，使得 nk 可以变为 m，且变化次数最少。由于 n 和 k 可以是任意正整数，我们可以先枚举 m，然后判断能否通过一系列操作将 n 变为 m。如果能变成 m，那么我们可以找到变成 m 的最少操作次数，从而得到 f(n*k) 的值。

根据上述状态转移方程，我们可以依次求出 f(n)，f(n+1)，f(n+2)，......，f(1)。最终，f(n) 就是我们要求的答案。

代码实现

下面是该问题的 Python 代码实现。

def min_operations(n, k):
    f = [0] * (n + 1)
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        f[i] = float('inf')
        if i + 1 <= n:
            f[i] = min(f[i], f[i + 1] + 1)
        if i - 1 >= 0:
            f[i] = min(f[i], f[i - 1] + 1)
        for j in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
            if i * j <= n:
                f[i] = min(f[i], f[i * j] + abs(j - k) + 1)
            if n // j >= i:
                f[i] = min(f[i], f[n // j] + abs(n // j - k) + 1)
    return f[1]

代码中采用了一个一维数组 f 来记录每个状态的取值，f[i] 表示将 i 变为 1 的最小操作次数。具体而言，我们使用一个循环来遍历数组 f 中的元素，对于每个 i，计算 f[i] 的值。

需要注意的是，由于 n 和 k 可以是任意正整数，我们需要考虑 i*k 是否会超过 n 的值。另外，构造 m 的方式有两种：一种是将 n 除以 i，另一种是将 n 乘以 i。我们需要同时考虑这两种情况。

总结

本题是一道典型的动态规划问题，解题思路就是通过状态转移方程来计算每个状态的取值。需要注意的是，由于问题要求解的是最小操作次数，因此我们需要为每个状态设计一个合理的状态转移方程，以保证算法的正确性。对于本题，注意需要对变成 m 的数进行判断，只有满足条件才能将 f[i] 转移为 f[i*k]。