题目描述

这是一道关于纯函数的题目，给定一个输入集合和一个元素，求出集合中所有不包含该元素的子集。不难发现，这是一个类似于组合问题的问题。题目要求我们实现一个函数，该函数能够求出所有的子集，又因为这个问题和集合相关，我们需要考虑函数的返回值和函数的参数类型

输入样例：

arr = [1, 2, 3]
ele = 2

输出样例：

[[1, 3], [1], [3], []]

解题思路

根据题目的要求，可以发现需要从集合中删除元素 ele ，然后求出所有子集。因为本题需要实现一个纯函数，也就是不依赖于任何外部环境的函数，因此我们需要使用一种函数式编程的方法来解决这个问题。

假设输入的集合为 $S = {s_1, s_2, \dots , s_n}$ ，其中 $s_k$ 表示集合中的第$k$个元素。对于集合中的每个元素 $s_i$，如果该元素与 $ele$ 相等，则将其从集合中删除，得到新的集合 $S'$。接下来可以使用递归的方式，求出 $S'$ 的所有子集 $\mathcal{P}(S')$，然后将 $s_i$ 加入每个子集中，得到所有不包含 $ele$ 的子集。

代码实现

下面是Python代码实现的一个例子：

from typing import List

def subsets_without_element(arr: List[int], ele: int) -> List[List[int]]:
    if not arr: # 如果输入的集合为空，直接返回空列表
        return [[]]

    # 剔除所有与 ele 相等的元素，得到新的集合 S'
    S_pr = [s for s in arr if s != ele]

    # 递归求解 S' 的所有子集
    p_S_pr = subsets_without_element(S_pr, ele)

    # 将 s_i 加入每个子集中，得到所有不包含 ele 的子集
    return [[s_i] + subset for subset in p_S_pr for s_i in [ele, S_pr[0]]]

代码解析

首先设计函数 subsets_without_element(arr: List[int], ele: int) -> List[List[int]] 的输入参数，其中 arr 表示输入的集合，ele 表示需要从集合中删除的元素，该函数返回所有不包含 ele 的子集。如果输入的集合为空，直接返回空列表 []。

函数的核心是递归调用自身，对于集合中的每个元素 $s_i$，如果该元素与 $ele$ 相等，则将其从集合中删除，得到新的集合 $S'$。然后递归求解 $S'$ 的所有子集 $\mathcal{P}(S')$。

最后，将 $s_i$ 加入每个子集中，得到所有不包含 $ele$ 的子集。其中 for subset in p_S_pr 循环遍历 $S'$ 的所有子集，for s_i in [ele, S_pr[0]] 循环遍历集合中除去 $S'$ 中的元素外的第一个元素和 ele。

总结

这是一道比较经典的组合问题。通过本题，我们可以了解到函数式编程的一些思想，如纯函数、递归、列表生成器等。此外，还可以了解到 Python 中的 List 类型以及类型注释的用法。对于需要从一个集合中删除一个元素并求出所有子集的情景，类似的思路也可以适用于组合问题等场景。