具有递归函数的辅助空间

在编写递归函数时，可能会涉及到一些辅助空间的使用。辅助空间指的是不属于函数参数或局部变量的空间，但是在函数执行过程中需要使用到的空间。下面我们来介绍一些常见的具有递归函数的辅助空间的情况。

1. 递归栈空间

在递归函数的执行过程中，每一次函数调用都需要在内存中分配一块新的空间，用于存储函数的参数、局部变量等信息。这些空间被称为栈帧。而所有的栈帧都是在程序的栈空间中分配的，我们称之为递归栈空间。

递归栈空间的大小取决于递归函数的递归深度。如果递归深度太大，可能会导致栈空间不足，从而出现栈溢出错误。为了避免这种情况的发生，我们可以使用尾递归优化、迭代方式或者手动模拟栈等方法来消除递归。

下面是一个经典的递归函数示例：阶乘函数。

def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n - 1)

在计算 factorial(5) 的过程中，会依次调用 factorial(4)、factorial(3)、factorial(2)、factorial(1) 和 factorial(0)，从而产生了5个栈帧。

2. 动态数组空间

除了递归栈空间之外，一些递归函数还可能需要使用动态数组来存储临时数据。动态数组是一种可变长的数组结构，在需要时可以动态调整其大小，以适应实际需要。

一种常见的使用动态数组的场景是在递归过程中记录路径或结果。比如在一棵二叉树中查找某个节点，我们可以使用一个动态数组来记录路径信息，最终得到的数组即为从根节点到目标节点的路径。

def find_path(root, target):
    if root is None:
        return None
    
    path = [root.val]  # 记录当前路径
    if root.val == target:
        return path
    
    left_path = find_path(root.left, target)  # 在左子树中查找
    if left_path is not None:
        path.extend(left_path)
        return path
    
    right_path = find_path(root.right, target)  # 在右子树中查找
    if right_path is not None:
        path.extend(right_path)
        return path
    
    # 未找到目标节点
    return None

3. 哈希表空间

一些递归函数还可能需要使用哈希表来存储临时数据。哈希表是一种能够以常数时间复杂度进行插入、查找和删除操作的数据结构，非常适合存储与查找、去重等操作相关的信息。

一种常见的使用哈希表的场景是递归计算子问题，将子问题的结果存储在哈希表中，以避免重复计算。这种优化方法称为记忆化搜索，也被称为“自顶向下动态规划”。

memo = dict()  # 记忆化搜索使用的哈希表

def fibonacci(n):
    if n in memo:
        return memo[n]
  
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        result = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
        memo[n] = result
        return result

在计算 fibonacci(5) 的过程中，会依次计算 fibonacci(4)、fibonacci(3)、fibonacci(2)、fibonacci(1)，其中 fibonacci(2) 和 fibonacci(1) 已经被计算过了，因此可以直接从哈希表中取出结果，避免了重复计算。