如何确定矩阵的特征值？

简介

矩阵特征值（eigenvalue）是线性代数中的一个重要概念，在物理、工程学等领域有广泛的应用。矩阵特征值的求解是一个重要的数值计算问题。

矩阵特征值的定义：对于一个 $n \times n$ 的方阵 $A$，如果存在一个非零列向量 $x$ 和一个标量 $\lambda$，使得 $Ax = \lambda x$，那么 $\lambda$ 称为 $A$ 的特征值，$x$ 称为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

求解方法

基于特征多项式的求解法

特征多项式是指方阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 满足特征多项式 $\det(A - \lambda I) = 0$，其中 $I$ 为 $n \times n$ 的单位矩阵。因此，通过计算特征多项式的根，可以得到方阵 $A$ 的所有特征值。

例如，$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$，其特征多项式为 $\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \ 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3$，由此可得 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 3$ 和 $\lambda_2 = -1$。

基于幂法的求解法

幂法是求解最大特征值和对应特征向量的常用方法。该方法的基本思想是，选择一个任意的向量 $x_0$，对其进行迭代求解 $x_{k+1} = \frac{Ax_k}{|Ax_k|}$，其中 $|\cdot|$ 表示向量的 2-范数，当迭代次数足够大时，可以得到最接近最大特征值的特征值和对应的特征向量。

具体实现时，需要注意计算过程中的数值误差问题。

import numpy as np

def power_iteration(A, num_iterations):
    """
    :param A: numpy.ndarray, the matrix.
    :param num_iterations: int, the number of iterations.
    :return: a tuple (eigenvalue, eigenvector), which is the largest eigenvalue and its corresponding eigenvector.
    """
    # Initialize a random vector
    x = np.random.rand(A.shape[0])
    x /= np.linalg.norm(x)

    # Iterate num_iterations times
    for _ in range(num_iterations):
        x = A @ x
        x /= np.linalg.norm(x)

    # Compute the eigenvalue and eigenvector
    eigenvalue = x.T @ A @ x
    eigenvector = x

    return eigenvalue, eigenvector

基于 QR 分解的求解法

QR 分解是一种求解方阵特征值的通用方法，它的基本思想是通过相似变换将矩阵 $A$ 转化为上三角矩阵，从而求得所有的特征值。具体实现中，采用 Householder 变换的 QR 分解方法可以实现精确的特征值计算，并且具有较高的数值稳定性。

需要注意的是，在计算过程中可能出现无穷小值和零元的情况，在这种情况下需要采取一些特殊处理方法，例如将成对的共轭复特征值合并成一个实特征值。

import numpy as np

def qr_algorithm(A, num_iterations):
    """
    :param A: numpy.ndarray, the matrix.
    :param num_iterations: int, the number of iterations.
    :return: a list of eigenvalues.
    """
    # Iterate num_iterations times
    for _ in range(num_iterations):
        # QR decomposition of A
        Q, R = np.linalg.qr(A)

        # Compute the new matrix A
        A = R @ Q

    # Extract the eigenvalues from the diagonal of A
    eigenvalues = np.diag(A)

    return eigenvalues

总结

本文介绍了三种常用的求解矩阵特征值的方法，分别是基于特征多项式的求解法、基于幂法的求解法和基于 QR 分解的求解法。每种方法都有其特点和适用范围，读者应根据实际问题的需要进行选择。