数学 | 特征值和特征向量

简介

在线性代数领域中，矩阵的特征值和特征向量是两个非常重要的概念，它们在矩阵的对角化和矩阵微积分等方面有广泛的应用。在机器学习和数据分析等领域中，矩阵的特征值和特征向量也扮演着重要的角色。本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算方法等内容。

概念

设$A$是一个$n$阶方阵，如果存在一个非零向量$x$和一个数$\lambda$，使得下面的式子成立：

$$Ax=\lambda x$$

则称$\lambda$为矩阵$A$的一个特征值，$x$为$A$对应于特征值$\lambda$的一个特征向量。特征值和特征向量总是成对出现的，也就是说，一个特征值对应于若干个（可能是零个）线性无关的特征向量。如果$x$是$A$对应于特征值$\lambda$的一个特征向量，则对于任意一个非零常数$c$，$cx$也是$A$对应于特征值$\lambda$的一个特征向量。

性质

• 矩阵$A$的特征值具有可加性，即如果$A$有特征值$\lambda_1$和$\lambda_2$，则$\lambda_1+\lambda_2$是$A$的特征值，相应的特征向量是线性无关的。
• 矩阵$A$的特征值和行列式、迹有关系，具体来说，$A$有$n$个特征值，它们的乘积等于$A$的行列式，它们的和等于$A$的迹。
• 如果$A$是一个实对称阵，则它的所有特征值都是实数，且对应于不同特征值的特征向量是正交的。

计算方法

计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的经典问题，有多种计算方法，常用的有幂法、反迭代法和QR分解法。

幂法

幂法是计算矩阵最大特征值及其对应的特征向量的一种简单而常用的方法。该方法基于以下事实：对于一个矩阵$A$，如果$x$是$A$的一个特征向量，$\lambda$是相应的特征值，则对于任意非零向量$x_0$，$\frac{A^kx_0}{\Vert A^kx_0\Vert}$都收敛于一个特征向量，其中$k$趋向于无穷大。

QR分解法

QR分解法是计算矩阵所有特征值及其对应的特征向量的一种通用而高效的方法。该方法基于对矩阵$A$进行QR分解的事实：$A=QR$，其中$Q$是正交矩阵，$R$是上三角矩阵。对$A$进行如下迭代：

$$A_1=Q^TAQ,\ A_2=(Q^T)^{-1}A_1Q^{-1}=\cdots=Q^{-1}AQ$$

则$A_k$收敛于一个形如$U\Lambda U^{-1}$的矩阵，其中$U$是正交矩阵，$\Lambda$是对角矩阵，对角线上的元素是$A$的特征值，$U$的列向量是对应的特征向量。

结论

本文介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算方法等内容。特征值和特征向量不仅在线性代数中有广泛的应用，也在机器学习和数据分析中扮演着重要的角色，掌握这一领域的相关知识对于程序员来说是非常有益的。