特征值和特征向量

方阵A的特征值和特征向量为标量λ和满足条件的非零向量v

Av =λv

在这个等式中， A是一个n×n矩阵， v是非零n×1向量，而λ是标量(可以是实数或复数)。该方程具有解的任何λ值都称为矩阵A的特征值。也称为特征值。与此方程相对应的向量v被称为特征向量。特征值问题可以写成

A · v -λ· v = 0
A·v -λ· I · v = 0
( A-λ·I )· v = 0

如果v为非零值，则该方程式仅具有以下解：

| A -λ· I | = 0

该方程被称为A的特征方程，并且是一个^阶多项式在λ有n根。这些根称为A的特征值。我们将只处理n个不同根的情况；通过它们可以重复。对于每个特征值，将存在特征值方程式为真的特征向量。

示例：查找2×2矩阵的特征值和特征向量

剩下的就是找到两个特征向量。让我们找到的特征向量，V _1，用特征值_，λ1 = -1连接，第一。

在这种情况下，我们发现第一个特征向量是任意两个分量列向量，其中两个项的大小相等且符号相反。

其中k ₁是一个任意常数。如果我们不必使用+1和-1，则可以使用任意两个大小相等且符号相反的量。

对第二个特征值进行相同的处理：

同样，特征向量的+1和-2的选择是任意的。只有它们的比例是必不可少的。这在下面的MATLAB代码中进行了演示。

    >> A=[0 1;-2 -3]
A =
       0   1
      -2  -3
>> [v,d]=eig(A)
v =
     0.7071  -0.4472
    -0.7071   0.8944
d =
     -1   0
      0  -2

注意：MATLAB选择的特征向量方程式与我们选择的方程式不同。 v1,1与v1,2的比率以及v2,1与v2,2的比率与我们的解决方案相似；系统选择的特征向量不是唯一的，但它们的成分之比是唯一的。 MATLAB选择的值应使每个特征向量的成分平方和等于1。