数学 |特征值和特征向量

矩阵 A 的特征向量是由矩阵 X 表示的向量，使得当 X 与矩阵 A 相乘时，所得矩阵的方向与向量 X 相同。

在数学上，上述语句可以表示为：

AX = λX

其中 A 是任意矩阵， λ 是特征值，X 是对应于每个特征值的特征向量。

在这里，我们可以看到 AX 与 X 平行。因此，X 是一个特征向量。

求任意方阵A的特征向量和特征值的方法
我们知道，

AX = λX

=> AX – λX = 0

=> (A – λI) X = 0 …..(1)

仅当 (A – λI) 是单数时，上述条件才成立。这意味着，

|A – λI| = 0 …..(2)

(2) 称为矩阵的特征方程。

特征方程的根是矩阵 A 的特征值。

现在，为了找到特征向量，我们只需将每个特征值代入(1)并通过高斯消元法求解，即将增广矩阵 (A – λI) = 0 转换为行梯形形式并求解线性方程组从而获得。

特征值的一些重要性质

• 实对称矩阵和厄密矩阵的特征值是实数

• 实偏斜对称矩阵和偏斜厄密矩阵的特征值要么是纯虚数要么为零

• 酉矩阵和正交矩阵的特征值是单位模数|λ| = 1

• 如果 λ _1, λ ₂ …….λ _n是 A 的特征值，则 kλ ₁ , kλ ₂ …….kλ _n是 kA 的特征值

• 如果 λ _1, λ ₂ …….λ _n是 A 的特征值，则 1/λ ₁ , 1/λ ₂ …….1/λ _n是 A ^{-1 的特征值}

• 如果 λ _1, λ ₂ …….λ _n是 A 的特征值，则 λ ₁ ^k , λ ₂ ^k …….λ _n ^k是 A ^{k 的特征值}

• A 的特征值 = A ^{T 的}特征值(转置)

• 特征值总和 = A 的迹(A 的对角线元素的总和)

• 特征值的乘积 = |A|

• A 的不同特征值的最大数量 = A 的大小

• 如果 A 和 B 是两个相同阶的矩阵，则 AB 的特征值 = BA 的特征值

本文由 Saurabh Sharma 提供。