MATLAB特征值和特征向量

什么是特征值和特征向量

在线性代数中，一个矩阵可以看作线性变换的代数表示。特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵的一些重要特征。

• 特征值：在线性代数中，一个向量沿着一个线性变换方向变化后只发生长度上的拉伸或压缩，而没有发生方向的变化。这样的向量称作该线性变换的特征向量。特征值表示这种拉伸或压缩的程度。因此，一个矩阵的特征值是其对应的特征向量所受到的重要性大小。

• 特征向量：一个矩阵的特征向量是指使其与矩阵相乘后等于一个常数（即特征值）的非零向量。

如何求特征值和特征向量

在MATLAB中，可以通过 eig 函数来计算矩阵的特征值和特征向量。

A = [1 2; 3 4]; % 定义一个二阶矩阵
[V,D] = eig(A); % 计算特征向量和特征值
disp(V); % 输出特征向量
disp(D); % 输出特征值

输出结果为：

V =

   -0.8246   -0.4151
    0.5658   -0.9094

D =

   -0.3723         0
         0    5.3723

上述程序中， A 是一个2x2的矩阵。程序使用 eig 函数来计算特征向量 V 和特征值 D。结果 V 是一个2x2的矩阵，每一列都是一个特征向量。结果 D 是一个2x2的矩阵，其中对角线上的元素是特征值。

应用场景

特征值和特征向量在数学、科学和工程上都有广泛应用。其中，用于评估一个矩阵的重要性，为降维和数据压缩提供了重要依据。在图像处理和分类等领域，使用特征值和特征向量可以得到人脸识别、机器学习以及数据挖掘等方面的应用。

总结

在MATLAB中，通过 eig 函数可以方便地计算矩阵的特征向量和特征值。这些特征对于描述矩阵的重要性和特定领域的应用都有重要意义。