群论是数学和抽象代数的一个分支，它定义了一个称为群的代数结构。通常，一组由一组元素组成，并且对该组上的任何两个元素进行操作以在该组中也形成第三个元素。

1854年，英国数学家Arthur Cayley首次给出了群的现代定义-

“一组所有符号都不相同的符号，因此它们中的任何两个(无论按什么顺序)的乘积，或其中任何一个本身的乘积都属于该集合， 。这些符号通常不可转换[可交换]，但具有关联性。”

在本章中，我们将了解构成集合论，群论和布尔代数基础的运算符和假设。

数学系统中的任何元素集都可以用一组运算符和许多假定来定义。

在一组元素上定义的二进制运算符是一条规则，它为每对元素分配该组中的唯一元素。例如，给定集合$ A = \ lbrace 1，2，3，4，5 \ rbrace $，我们可以说$ \ otimes $是操作$ c = a \ otimes b $的二进制运算符(如果指定)在$(a，b)$对中找到c的规则，例如A $中的$ a，b，c \。

数学系统的公设形成从该规则可以推断的基本假设。假设是-

关闭

如果对于集合中的每对元素，运算符从该集合中找到唯一元素，则该集合对于二进制运算符是封闭的。

例

设$ A = \ lbrace 0、1、2、3、4、5，\ dots \ rbrace $

该集合在二进制运算符下被封闭到$(\ ast)$中，因为对于操作$ c = a \ ast b $，对于$$中的任何$ a，b \ A $，乘积$ c \ in A $。

在二元运算符div $(\ div)$下不关闭集合，因为对于操作$ c = a \ div b $，对于$$中的任何$ a，b \ A $，乘积c可能不在集合中A.如果$ a = 7，b = 2 $，则$ c = 3.5 $。这里$ a，b \ in A $但$ c \ notin A $。

关联法

当集合A上的二进制运算符$ \ otimes $具有以下属性时，它是关联的：

$(x \ otimes y)\ otimes z = x \ otimes(y \ otimes z)$，其中$ x，y，z \ in A $

例

设$ A = \ lbrace 1，2，3，4 \ rbrace $

运算符加上$(+)$是关联的，因为对于A $中的任何三个元素$ x，y，z \，属性$(x + y)+ z = x +(y + z)$成立。

运算符减去$(-)$是不关联的，因为

$$(x-y)-z \ ne x-(y-z)$$

交换律

当集合A上的二进制运算符$ \ otimes $拥有以下属性时，它是可交换的：

$ x \ otimes y = y \ otimes x $，其中$ x，y \ in A $

例

设$ A = \ lbrace 1，2，3，4 \ rbrace $

运算符加$(+)$是可交换的，因为对于A $中的任何两个元素$ x，y \，属性$ x + y = y + x $成立。

运算符减去$(-)$是不关联的，因为

$$ x-y \ ne y-x $$

分配法

当以下属性成立时，集合A上的两个二进制运算符$ \ otimes $和$ \ circledast $分布在运算符$ \ circledast $上-

$ x \ otimes(y \ circledast z)=(x \ otimes y)\ circledast(x \ otimes z)$，其中$ x，y，z \ in A $

例

设$ A = \ lbrace 1，2，3，4 \ rbrace $

运算符到$(*)$和加$(+)$超过运算符分配+因为对于任何三种元素，$ X，Y，Z \所述的$，属性$ X *(Y + Z)=(X * y)+(x * z)$成立。

但是，这些运算符的分布不超过$ * $，因为

$$ x +(y * z)\ ne(x + y)*(x + z)$$

身份元素

如果A中存在元素$ e \，则集合A具有关于A上的二进制运算$ \ otimes $的标识元素，使得以下属性成立-

$ e \ otimes x = x \ otimes e $，其中$ x \ in A $

例

设$ Z = \ lbrace 0、1、2、3、4、5，\ dots \ rbrace $

元素1是关于操作$ * $的标识元素，因为对于Z $中的任何元素$ x \，

$$ 1 * x = x * 1 $$

另一方面，减去$(-)$的操作没有标识元素

逆

如果集合A具有相对于二元运算符$ \ otimes $的标识元素$ e $，则每当A $中的每个元素$ x \存在A时，它都存在一个逆。 ，以使以下属性成立-

$$ x \ times y = e $$

例

设$ A = \ lbrace \ dots -4，-3，-2，-1、0、1、2、3、4、5，\ dots \ rbrace $

给定操作加上$(+)$和$ e = 0 $，由于$ x +(x)= 0 $，任何元素x的倒数都是$(-x)$。

德摩根定律

De Morgan的定律根据补集给出了两个(或更多)集合的并集和交集之间的一对转换。法律是-

$$(A \ cup B)’= A’\ cap B’$$

$$(A \ cap B)’= A’\ cup B’$$

例

设$ A = \ lbrace 1，2，3，4 \ rbrace，B = \ lbrace 1，3，5，7 \ rbrace $和

通用集$ U = \ lbrace 1，2，3，\ dots，9，10 \ rbrace $

$ A’= \ lbrace 5、6、7、8、9、10 \ rbrace $

$ B’= \ lbrace 2、4、6、8、9、10 \ rbrace $

$ A \ cup B = \ lbrace 1，2，3，4，5，7 \ rbrace $

$ A \ cap B = \ lbrace 1，3 \ rbrace $

$(A \ cup B)’= \ lbrace 6，8，9，10 \ rbrace $

$ A’\ cap B’= \ lbrace 6，8，9，10 \ rbrace $

因此，我们看到$(A \ cup B)’= A’\ cap B’$

$(A \ cap B)’= \ lbrace 2，4，5，6，7，8，9，10 \ rbrace $

$ A’\ cup B’= \ lbrace 2、4、5、6、7、8、9、10 \ rbrace $

因此，我们看到$(A \ cap B)’= A’\ cup B’$