半群

如果具有二元运算$’\ omicron’$(Composition)的有限或无限集$’S’$如果同时满足以下两个条件，则称为半群-

• 闭包-对于S中的每对$(a，b)\，\ 🙁 a \ omicron b)$必须存在于集合$ S $中。

• 关联-对于S中的每个元素$ a，b，c \(a \ omicron b)\ omicron c = a \ omicron(b \ omicron c)$必须成立。

例

具有加法运算的正整数(不包括零)的集合是一个半群。例如，$ S = \ lbrace 1，2，3，\ dots \ rbrace $

这里，对于每个对$(a，b)\ in S，(a + b)$存在于集合S中，闭合属性成立。例如，$ 1 + 2 = 3 \ in S] $

关联属性也适用于S中的每个元素$ a，b，c \(a + b)+ c = a +(b + c)$。例如，$(1 + 2)+ 3 = 1 +(2 + 3)= 5 $

单体

id半群是具有标识元素的半群。对于S $中的每个元素$ a \而言，集合S的标识元素(用$ e $或E表示)是这样的元素，即$(a \ omicron e)= a $。标识元素也称为单位元素。因此，一个monoid同时拥有三个属性-Closure，Associative，Identity元素。

例

带乘法运算的正整数(不包括零)的集合是一个单面体。 $ S = \ lbrace 1，2，3，\点\ rbrace $

这里闭包属性对于S中的每对$(a，b)\ in，(a \ times b)$都存在于集合S中。[例如，$ 1 \ times 2 = 2 \ in S $，依此类推]

关联属性也适用于每个元素$ a，b，c \ in S，(a \ times b)\ times c = a \ times(b \ times c)$ [例如，$(1 \ times 2)\ times 3 = 1 \ times(2 \ times 3)= 6 $，依此类推]

身份属性对于每个元素$ a \ in S也都成立，(a \ times e)= a $ [例如，$(2 \ times 1)= 2，(3 \ times 1)= 3 $，依此类推]。此处标识元素为1。

组

组是具有逆元素的单面体。对于S $中的每个元素$ a，集合S的逆元素(用I表示)是这样的元素，即$(a \ micron I)=(I \ micron a)= a $。因此，一个组同时拥有四个属性-i)闭包，ii)关联，iii)身份元素，iv)逆元素。组G的顺序是G中元素的数量，组中元素的顺序是最小正整数n，因此an是该组G的标识元素。

例子

$ N×N $个非奇异矩阵的集合在矩阵乘法运算下形成一个组。

两个$ N×N的非奇异矩阵的乘积也是一个具有闭合性质的$ N×N的非奇异矩阵。

矩阵乘法本身是关联的。因此，关联属性成立。

$ N x N个非奇异矩阵的集合包含持有恒等元元素属性的恒等矩阵。

由于所有矩阵都是非奇异矩阵，因此它们都具有也是非奇异矩阵的逆元素。因此，逆属性也成立。

阿贝尔集团

阿贝尔群G是一个元素对$(a，b)\ G $中的对位始终具有交换律的组。因此，一组同时拥有五个属性-i)闭包，ii)关联，iii)身份元素，iv)逆元素，v)可交换。

例

具有加法运算的正整数(包括零)的集合是阿贝尔群。 $ G = \ lbrace 0、1、2、3，\ dots \ rbrace $

在这里，对于每个对$(a，b)\ in S，(a + b)$都存在于集合S中，闭包属性成立。[例如，$ 1 + 2 = 2 \ in S $，依此类推]

关联属性对于每个元素$ a，b，c \ in S也成立，(a + b)+ c = a +(b + c)$ [例如，$(1 +2)+ 3 = 1 +(2 + 3)= 6 $，依此类推]

身份属性对于每个元素$ a \ in S也都成立，(a \ times e)= a $ [例如，$(2 \ times 1)= 2，(3 \ times 1)= 3 $，依此类推]。在这里，标识元素为1。

对于S中的每个元素$ a \，交换属性也成立，(a \ times b)=(b \ times a)$ [例如，$(2 \ times 3)=(3 \ times 2)= 3 $等等上]

循环群和子群

循环基团是可以由单个元素生成的基团。循环组的每个元素都是某个特定元素的幂，称为生成器。循环组可以由生成器“ g”生成，这样该组中的每个其他元素都可以写为生成器“ g”的幂。

例

乘法运算下的复数$ \ lbrace 1，-1，i，-i \ rbrace $的集合是一个循环组。

有两个生成器-$ i $和$ –i $，因为$ i ^ 1 = i，i ^ 2 = -1，i ^ 3 = -i，i ^ 4 = 1 $以及$(– i)^ 1 = -i，(– i)^ 2 = -1，(– i)^ 3 = i，(– i)^ 4 = 1 $，它涵盖了该组的所有元素。因此，它是一个循环基团。

注–循环组始终是一个阿贝尔群，但并非每个阿贝尔群都是一个循环群。加法运算下的有理数不是循环的，而是阿贝尔的。

如果子组H同时满足四个属性(闭包，关联，标识元素和逆)，则它是组G的子集(表示为$ H≤G $)。

组G的不包括整个组G的子组H被称为适当的子组(由$ H

例

设一个组$ G = \ lbrace 1，i，-1，-i \ rbrace $

那么一些子组是$ H_1 = \ lbrace 1 \ rbrace，H_2 = \ lbrace 1，-1 \ rbrace $，

这不是子组-$ H_3 = \ lbrace 1，i \ rbrace $，因为$(i)^ {-1} = -i $不在$ H_3 $中

部分有序集(POSET)

部分排序的集合由具有二元关系的集合组成，该二元关系是反身，反对称和可传递的。 “部分排序集”缩写为POSET。

例子

• 二进制运算下小于或等于$ {\ le)$的实数集是一个位姿。

  让集合$ S = \ lbrace 1，2，3 \ rbrace $并且操作为$ \ le $

  关系将为$ \ lbrace(1，1)，(2，2)，(3、3)，(1、2)，(1、3)，(2、3)\ rbrace $

  该关系R自反为$ \ lbrace(1，1)，(2，2)，(3，3)\ rbrace \ in R $

  该关系R是反对称的，如

  $ \ lbrace(1、2)，(1、3)，(2、3)\ rbrace \ in R \和\ \ lbrace(1、2)，(1、3)，(2、3)\ rbrace∉ R $

  此关系R也传递为R $中的$ \ lbrace(1,2)，(2,3)，(1,3)\ rbrace \。

  因此，这是一个poset 。

• 操作“可达性”下的有向无环图的顶点集是位姿。

哈斯图

姿态图的Hasse图是有向图，其顶点是该姿态图的元素，并且弧线覆盖姿态图中的对(x，y)。如果在位姿$ x

例

$ \ lbrace 1、2、3 \ rbrace = \ lbrace \ emptyset，\ lbrace 1 \ rbrace，\ lbrace 2 \ rbrace，\ lbrace 3 \ rbrace，\ lbrace 1、2 \ rbrace，\ lbrace 1的子集的poset ，3 \ rbrace，\ lbrace 2，3 \ rbrace，\ lbrace 1，2，3 \ rbrace \ rbrace $由下面的Hasse图显示-

线性有序集

线性排序集或总排序集是部分排序集，其中每对元素都是可比较的。如果$ a \ le b $或$ b \ le a $成立，则S $中的元素$ a，b \被认为是可比较的。三分法定义了该总有序集。完全有序集可以定义为对集合S中a和b的所有值具有属性$ \ lbrace a \ lor b，\ land b \ rbrace = \ lbrace a，b \ rbrace $的分布格。

例

\ subseteq排序的$ \ lbrace a，b \ rbrace $的幂集是一个完全有序集，因为幂集的所有元素$ P = \ lbrace \ emptyset，\ lbrace a \ rbrace，\ lbrace b \ rbrace，\ lbrace a，b \ rbrace \ rbrace $是可比较的。

非总计订单集示例

操作x除以y时的集合$ S = \ lbrace 1，2，3，4，5，6 \ rbrace $不是总有序集合。

在这里，对于所有$(x，y)\ in S，x | y $必须保留，但是2 | 3，因为2不除3或3不除2。因此，它不是总有序集。

格子

格是一个坐姿$(L，\ le)$，每对$ \ lbrace a，b \ rbrace \在L $中具有最小的上界(由$ a \ lor b $表示)和最大的下界(用$ a \ land b $表示)。 LUB $(\ lbrace a，b \ rbrace)$称为a和b的连接。 GLB $(\ lbrace a，b \ rbrace)$称为a和b的相遇。

例

上图是一个格子，因为对于L $中的每对$ \ lbrace a，b \ rbrace \，都存在一个GLB和一个LUB。

上面的数字并不是一个格子，因为$ GLB(a，b)$和$ LUB(e，f)$不存在。

下面讨论了其他一些格子-

有界格

如果晶格L具有最大元素1和最小元素0，则它成为有界晶格。

互补格

如果晶格L是有界晶格并且该晶格中的每个元素都具有补码，则它成为互补晶格。如果$ \存在x(x \ land x’= 0并且x \ lor x’= 1)$，则元素x具有补码x’。

分配格

如果晶格满足以下两个分布特性，则称为分布晶格。

• $ a \ lor(b \ land c)=(a \ lor b)\ land(a \ lor c)$

• $ a \ land(b \ lor c)=(a \ land b)\ lor(a \ land c)$

模块化格

如果晶格满足以下特性，则称为模块化晶格。

$ a \ land(b \ lor(a \ land d))=(a \ land b)\ lor(a \ land d)$

格的性质

幂等性质

• $ a \ lor a = a $

• $ a \土地a = a $

吸收特性

• $ a \ lor(a \ land b)= a $

• $ a \ land(a \ lorb)= a $

交换性质

• $ a \ lor b = b \ lor a $

• $ a \ land b = b \ land a $

关联属性

• $ a \ lor(b \ lor c)=(a \ lor b)\ lor c $

• $ a \ land(b \ land c)=(a \ land b)\ land c $

格的对偶

通过互换’$ \ lor $’和’$ \ land $’运算可获得格的对偶。

例

$ \ lbrack a \ lor(b \ land c)\ rbrack \的对偶是\ \ lbrack a \ land(b \ lor c)\ rbrack $