在本章中，我们将讨论关于算法所需空间量的计算问题的复杂性。

空间复杂度具有许多时间复杂度特征，并且可以作为根据问题的计算难度对问题进行分类的另一种方式。

什么是空间复杂度?

空间复杂度是一种函数，它根据算法的输入量来描述算法占用的内存(空间)量。

我们经常说需要额外的内存，没有计算存储输入本身所需的内存。同样，我们使用自然的(但固定长度)单位来度量。

我们可以使用字节，但是更容易使用，例如，使用的整数数量，固定大小的结构数量等。

最后，我们提供的函数将独立于表示该单元所需的实际字节数。

有时会因为使用的空间极小和/或明显而忽略空间复杂度，但是有时它与时间复杂度一样重要

定义

令M为确定性的图灵机(TM) ，该机停止所有输入。 M的空间复杂度是函数$ f \冒号N \ rightarrow N $，其中f(n)是磁带的最大单元数， M扫描长度为M的任何输入。如果M的空间复杂度为f(n) ，则可以说M在空间f(n)中运行。

我们使用渐近符号来估计图灵机的空间复杂度。

令$ f \冒号N \ rightarrow R ^ + $为一个函数。空间复杂度类可以定义如下-

空格= {L | L是由O(f(n))空间确定性TM决定的语言

空格= {L | L是由O(f(n))空间不确定TM决定的语言

PSPACE是在确定性图灵机上的多项式空间中可确定的语言类别。

换句话说， PSPACE = U _k SPACE(n ^k )

萨维奇定理

Savitch定理是与空间复杂性相关的最早定理之一。根据该定理，确定性机器可以通过使用少量空间来模拟非确定性机器。

对于时间复杂性，这种模拟似乎需要时间成指数增长。对于空间复杂度，该定理表明，使用f(n)空间的任何非确定性图灵机都可以转换为使用f ² (n)空间的确定性TM。

因此，Savitch定理指出，对于任何函数，$ f \冒号N \ rightarrow R ^ + $，其中$ f(n)\ geqslant n $

NSPACE(f(n))⊆SPACE(f(n))

复杂度等级之间的关系

下图描述了不同复杂度类别之间的关系。

到目前为止，在本教程中我们还没有讨论P和NP类。这些将在后面讨论。