排列和组合之间的区别

概率是指如果有“n”个可能性，事件可能发生或不发生的机会或可能性。简而言之，概率告诉我们事件发生的百分比。概率可以表示为从 0 到 1 的数字或百分比。

事件

事件是指实验的结果。例如，当我们掷骰子时（掷骰子是一种实验），在骰子的顶面上可以得到 1、2、3、4、5 和 6 中的任何数字。其中任何一个的外观骰子上的数字是一个事件。如上所述，概率是从0到1。确定发生的事件的概率为1（100％），根本不可能发生的事件称为不可能事件，其概率为0。

样本空间

样本空间是实验所有可能结果的集合。以上述掷骰子为例，所有可能结果的集合（1、2、3、4、5、6）就是样本空间。

另一个例子是抛两个硬币或抛一个硬币两次。这里，样本空间是 (HH, HT, TH, TT)。需要清楚地理解，样本空间中所有个体事件的概率之和始终为 1。

概率公式

计算概率的最基本公式是，

P = Number of favorable outcomes of an event / Total number of outcomes in the experiment.  

例如，在掷两个硬币时，我们看到结果总数为 4，其中一个正面出现了 2 次（HT，TH）。所以得到一个正面的概率是 P(得到一个正面) = 2/4 = 1/2。

排列

排列是一个概念，意味着以特定顺序排列给定的一组元素。这里的排列顺序很重要。理解排列的一个简单方法是，如果我们有一些对象并且我们想要排列它们（无论您首先选择哪个对象或最后选择哪个对象都没有关系），那么您可以用多少种方式排列它们。我们举个例子，

如果取三个英文字母——p、q、r，并且我们想要排列它们，那么它们可以排列成(p, q, r), (p, r, q), (q, p, r), (q, r, p), (r, p, q) 和 (r, q, p)。只有这六种安排是可能的。现在这里的词排列称为排列，即只有这六个排列是可能的。

求排列数的公式

如果给出了“n”个元素，我们想要从中排列“r”个元素，那么可能的排列或排列的数量由下式给出，

ⁿ_rP  = n! / (n – r)!

查看本文末尾的一些示例。

组合

组合是一个与从给定元素集合中选择一些元素有关的概念。这里选择元素的顺序并不重要。现在我们进一步看一下组合的概念。组合的概念意味着从给定对象中选择一些对象。该组合与所选对象的排列无关。

例如，板球队从众多球员中选择11名球员属于组合（仅此而已，只是选择），但是哪个球员先击球，哪个球员后击球，依此类推，这种球员安排属于排列。

查找组合数量的公式

如果我们有“n”个元素要从中选择“r”个元素，那么可能的组合数由下式给出

ⁿ _r C = n！ / r!(n – r)!

组合和排列有什么区别？

上面给出了排列和组合的定义，并对其进行了详细定义。现在让我们来看看两者的区别，

Permutations	Combinations
Permutation means total number of ways in which we can arrange elements in The combination order combination.	The combination means a total number of ways in which we can select some elements from a given set of elements.
The order in which the elements are placed is very important.	The order in which the elements are selected is not important.
For example, on tossing three coins, HHT is a different permutation from HTH.	In combination HHT is the same as HTH. The order does not matter.
Permutation can be made using repetition or without repetition of elements.	Combination is not concerned with repetition or without repetition of elements.

示例问题

问题1：你可以用几种方式排列ARTICLE这个词的字母，一次取4个字母，不重复，组成有或没有意义的单词？

解决方案：

Here from 7 letters of the word ARTICLE, we have to arrange any 4 letters to form different words.

So, n = 7 and r = 4. 

Using permutation formula ⁿ_rP = n! / (n – r)!    

⁴₇P = 7! / (7 – 4)! 

= 7!/3! 

= (7 × 6 × 5 × 4 × 3!) / 3! = 7 × 6 × 5 × 4 = 840

Thus there are 840 different ways in which we can arrange 4 letters out of the 7 letters of ARTICLE to form different words.

问题2：如果每个密码都以48开头并且没有数字重复，从0到9可以组成多少个6位密码？

解决方案：

Here arrange 6 digits from 0 to 9 but the first two digits of the pin code has been already decided (4 and 8). 

So we have to now arrange only 4 digits out of the remaining 8 digits (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9).

So, n = 8 and r = 4,  

⁸₄P = 8! / (8 – 4)! 

= 8! / 4! 

= (8 × 7 × 6 × 5 × 4!) / 4! 

= 8 × 7 × 6 × 5 

= 1680

Thus, 1680 different permutation in which 6 digit pin codes can be formed.

问题 3：在 10 名学生中，将选择 4 名参加旅行。有多少种选择方式？

解决方案：

In this question select 4 students out of given 10. So combination will be used here to find the answer.

n = 10 and r = 4,  

¹⁰₄C = 10! / 4!(10 – 4)! 

= 10! / 4!6! 

= (10 × 9 × 8 × 7 × 6!) / (4 × 3 × 2 × 1 × 6!) 

= (10 × 9 × 8 × 7)/(4 × 3 × 2 × 1) 

= 210

Thus there are 210 different ways of selecting 4 students out of 10.

问题 4：一个袋子里有 3 个红球、5 个黑球和 4 个蓝球。有多少种方法可以取出三个球，以便取出每种颜色？

解决方案：

Here take out three balls of each colour. The order in which the balls are taken out does not matter. So use combination to find the answer.

Number of ways of selecting one red ball out of 3 red balls = ³₁C

Number of ways of selecting one black ball out of 5 back balls = ⁵₁C  

Number of ways of selecting one blue ball out of 4 blue balls = ⁴₁C

Total number of ways of selecting three balls of each colour = ³₁C × ⁵₁C × ⁴₁C                 

= 3 × 5 × 4 

= 60

Thus there are 60 ways of selecting three balls of each colour.